Vollständigkeitsaxiom

16.04.2005, 17:26

Lockto

Vollständigkeitsaxiom

Hi Leude,

das Vollständigkeitsaxiom bes
agt:
Jede nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum (kleinste obere Schranke).

Hat dies irgendetwas im entferntsten Sinne mit der Vollständigkeit zu tun.
Diese besagt ja, dass ein Raum vollständig ist, wenn jede Cauchyfolge konvergiert.

THX
Lockto

16.04.2005, 18:01

bluemchen

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würde behuapten nicht, wieso kommste denn drauf???

16.04.2005, 18:37

Lockto

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Weil der Name doch einge Übereinstimmungen besitzt!

16.04.2005, 19:12

bluemchen

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nö, glaub nicht, dass da ein zusammenhang besteht... kanns dir aber nicht garantieren... für mich sind das einfach zwei ganz verschiedene themen....

16.04.2005, 19:54

Tobias

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Ich würde sagen doch:

Nehmen wir an, eine nach oben beschränkte Menge hätte kein Supremum (z.B. eine durch Wurzel(2) nach oben beschränkte Teilmenge aus Q). Dazu lässt sich eine Folge konstruieren, die innerhalb dieser Menge nicht konvergiert, also keine Cauchyfolge ist.

Bleibt die Frage, ob die Sätze äquivalent sind... das weiß ich nicht.

16.04.2005, 22:49

Mathespezialschüler

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Dieses Axiom heißt Vollständigkeitsaxiom, weil es die Vollständigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sichert. Die Körper- und Ordnungsaxiome machen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ja noch nicht eindeutig, auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gelten diese ja. Das Vollständigkeitsaxiom macht also den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aus. Z.B. erweitert man ja $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , weil man dort keine Zahl findet, deren Quadrat 2 ist. In $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gibt es also "Lücken". Die Erweiterung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ schließt diese Lücken, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist also in diesem Sinne eine lückenlose Menge (oder anders: ein Kontinuum).
Dieser Begriff hat also gar nichts mit Banachräumen zu tun!

17.04.2005, 11:00

Tobias

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Sagen wir es so:

Wenn dein Raum die reellen Zahlen sind, dann ist deren Vollständigkeitsdaxiom maßgeblich für die Vollständigkeit.

17.04.2005, 11:03

Lockto

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Danke für die Antworten, gilt denn dann das Vollständigkitsaxiom nur für reele Zahlen, also nicht für rationale?

Das Bsp. mit Wurzel(2), find ich nicht gut:

Ich bastle mir eine Folge z.B. Wurzel(2) - 1/n, dann komm ich immer nahe an die Wurzel(2) ran, aber in Q existiert der Grenzwert nicht. Also habe ich eine Cauchyfolge, die nicht konvergiert. Deshalb würde ich sagen, ist Q nicht vollständig. Aber doch auch diese Folge hat doch ein Supremum, da das Supremum doch ncichht in der Menge enthalten sein muss (Unterschied zu Max <-> Sup).
Demnach würde ich sagen, dass die Menge aller Folgenglieder meiner obigen Formel wohl ein Sup hat, nämlich Wurzel(2), jedoh keinen Grenzwert in Q.

Ist das richtig?

Lockto

17.04.2005, 12:50

gast1

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Ich muss euch widersprechen:
Für einen angeordneten Körper K ist äquivalent
"Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Supremum."
und
"Jede Cauchyfolge aus K konvergiert gegen ein Element von K."
Die beiden Begriffe haben also sehr wohl etwas miteinander zu tun, sie sind sogar äquivalent.
Der Beweis dafür dürfte auch nicht allzu schwer sein.

17.04.2005, 14:25

Tobias

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Ich glaube ich kann jetzt beide Meinungen dazu nachvollziehen.

Die Frage ist in sofern problematisch, weil man zwei unvergleichbare Dinge vergleichen will.

Auf der einen Seite steht ein nicht anfechtbares Axiom, welches zusammen mit ein paar weiteren Axiomen die reellen Zahlen beschreibt.
Auf der anderen Seite benennt man eine Eigenschaft (Vollständigkeit), die manchmal auftritt und manchmal nicht.
Wir vergleichen hier also eine Eigenschaft mit einem Axiom, was mir etwas suspekt erscheint.

Man kann aber sagen: Wenn das Vollständigkeitsaxiom für ein "Konstrukt" gefordert wird, dann haben wir auch Vollständigkeit im Sinne der Forderung.

17.04.2005, 14:47

Leopold

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@ Tobias

Deinen letzten Beitrag verstehe ich nicht. Jedes Axiom beschreibt doch auch eine Eigenschaft. Axiom heißt die Eigenschaft doch nur deshalb, weil sie aus den anderen Eigenschaften des Gebildes nicht ableitbar ist (so sollte es jedenfalls sein, sonst ist das Axiom überflüssig). Im übrigen stimme ich gast1 zu.

17.04.2005, 15:57

Mathespezialschüler

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Mir ist selbst noch aufgefallen, dass die Vollständigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ doch etwas mit Banachräumen zu tun hat, denn wie gast1 richtig sagt, sichert das Cauchysche Konvergenzprinzip ja auch die Vollständigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bzw. ist äquivalent zu "jedem" Vollständigkeitsaxiom von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Und somit ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ natürlich bzgl. des Betrags ein Banachraum.

@Leopold

Zitat:

Axiom heißt die Eigenschaft doch nur deshalb, weil sie aus den anderen Eigenschaften des Gebildes nicht ableitbar ist

Ich bin mal pingelich und kreide dir das an ( Augenzwinkern

), denn "richtig" wäre:

"Axiom heißt die Eigenschaft doch nur deshalb, weil sie aus den anderen Axiomen des Gebildes nicht ableitbar ist"

denn wie du selbst schon bestätigst, folgt ja das Supremumsprinzip z.B. aus dem Cauchyschen Konvergenzprinzip, letzteres ist ja auch nur eine Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Man müsste also sagen, wenn man ein System von Axiomen hat, dann müssen sie alle unabhängig sein, aber natürlich nicht unabhängig von den Eigenschaften.
PS: Welche ordnungsvollständigen Körper (also angeordnete Körper, in dem das Supremumsprinzip gilt) außer $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es denn noch? Eigentlich dürfte es doch keine weiteren geben, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist doch durch diese Axiome "definiert" und somit eindeutig bestimmt oder?

@Lockto
Das Problem ist erstmal, dass deine Folge gar nicht aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist, kein einziges Folgenglied ist rational! Ich denke, du wolltest das anders ausdrücken. Nehmen wir uns mal eine rationale Folge $\begin{eqnarray*} r_n \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Betrachten wir diese Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , so besitzt dort natürlich keinen Grenzwert. Das hast du ja richtig gesagt. Wo du allerdings einen Fehler machst, ist hier:

Zitat:

Aber doch auch diese Folge hat doch ein Supremum, da das Supremum doch ncichht in der Menge enthalten sein muss (Unterschied zu Max <-> Sup)

Ein Supremum muss zwar nicht in der Menge selbst enthalten sein, muss also nicht in $\begin{eqnarray*} \{r_n\ |\ n\in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ liegen. Aber es muss zumindest in der Menge liegen, die man insgesamt betrachtet, also hier $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . In $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ besitzt die Folge also auch kein Supremum, da das (in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ existierende) Supremum $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ eben nicht rational ist, was aber durch die Definition des Supremums in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gefordert wird!

17.04.2005, 16:49

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Leopold

Zitat:

Axiom heißt die Eigenschaft doch nur deshalb, weil sie aus den anderen Eigenschaften des Gebildes nicht ableitbar ist

Ich bin mal pingelich und kreide dir das an ( Augenzwinkern

), denn "richtig" wäre:

"Axiom heißt die Eigenschaft doch nur deshalb, weil sie aus den anderen Axiomen des Gebildes nicht ableitbar ist"

Natürlich muß es hier Axiom und nicht Eigenschaft heißen.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
PS: Welche ordnungsvollständigen Körper (also angeordnete Körper, in dem das Supremumsprinzip gilt) außer $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es denn noch? Eigentlich dürfte es doch keine weiteren geben, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist doch durch diese Axiome "definiert" und somit eindeutig bestimmt oder?

Entscheidend zur Kennzeichnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist noch das archimedische Axiom. Der Körper $\begin{eqnarray*} ^{*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ der Nichtstandardzahlen (Abraham Robinson, um 1960) ist auch vollständig (glaube ich jedenfalls), enthält aber unendlich große Zahlen wie auch unendlich kleine Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ , sogenannte Infinitesimalien. Ein positives $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ ist kleiner als jede positive reelle Zahl, aber dennoch von Null verschieden.

17.04.2005, 17:04

gast1

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IR ist bis auf Isomorphie der einzige angeordnete, vollständige Körper.
Diese Frage wird in der Analysis jedoch meistens ausgeklammert. So ist ja gar nicht selbstverständlich, dass es überhaupt einen angeordneten, vollständigen Körper gibt, man muss diesen vielmehr zuerst aus den Axiomen der Mengenlehre konstruieren, bevor man sich seiner Existenz sicher sein kann, doch das wird sicher in keiner Analysis 1 Vorlesung gemacht.

17.04.2005, 17:08

Leopold

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Ist in deinem "angeordnet" die archimedische Eigenschaft mit enthalten?

17.04.2005, 17:29

Mathespezialschüler

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@Leopold
Die archimedische Eigenschaft folgt aus dem Supremumsprinizip. Das kann es also nicht sein. Augenzwinkern

Und die Nichtstandardzahlen können somit nicht vollständig sein. In deinem Link steht nämlich, dass sie die archimedische Eigenschaft nicht erfüllen. Würde für sie aber das Supremumsprinzip gelten, so auch die archimedische Eigenschaft => Widerspruch!

edit: Mein 5000. Beitrag. smile

17.04.2005, 19:22

gast1

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Ein angeordneter Körper ist ein Körper mit einer Ordnungsrelation, nicht mehr und nicht weniger.
Also ein Körper mit einer Relation <, so dass gilt:
Für 2 Körperelemente a und b gilt genau einer der Beziehungen
a=b, a<b oder b<a.
Für 3 Körperelemente a,b und c gilt
a<b und b<c =>a<c
Aus a<b folgt a+c<b+c
Aus a<b und c>0 folgt a*c<b*c
(ich hoffe, ich habe nichts vergessen).

17.04.2005, 19:36

Mathespezialschüler

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Hast nichts vergessen, alles richtig. Aber dass das archimedische Axiom nicht nötg ist, habe ich ja oben schon geschrieben.

17.04.2005, 19:52

Leopold

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Ich denke, es kommt darauf an, was man unter Vollständigkeit versteht. Wenn man die Vollständigkeit mit dem Supremumsprinzip identifiziert, ist das archimedische Axiom wohl in der Tat eine Folgerung daraus. Wenn man die Vollständigkeit aber über die Konvergenz von Cauchy-Folgen festlegt, braucht man das archimedische Axiom noch zusätzlich, um das Supremumsprinzip herzuleiten. Das hieße dann, daß nur bei Voraussetzung des archimedischen Axioms die von gast1 angesprochene Äquivalenz gilt.
Aber möglicherweise rede ich hier auch Quark. Das müßte man wohl alles etwas genauer studieren.

17.04.2005, 20:37

Lockto

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Hallöchen,

@Mathespezialschüler

Das Vollständigkeitsaxiom gilt für alle Mengen bzw. Teilmengen aus R. Dann muss auch, wenn ich mir eben nur einen Teilmenge der reellen Zahlen, eben die rationalen Zahlen betrachte, dies dort auch gelten, oder?

Demnach hat die Menge:

M:={x; x^2<=2, x aus Q}

doch auch ein Supremum, muss es doch haben, laut Vollständigkeitsaxiom. Ich habe eine Teilmenge der rellenen Zahlen, welche nach oben beschränkt ist.
Warum besitzt diese Menge kein Supremum?
Ich würde sagen es ex. kein Max, da Wurzel(2) nicht rational ist, dennoh müsste es ein Supremum geben?

Danke für eure Mithilfe
Lockto

17.04.2005, 21:03

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Lockto
Das Vollständigkeitsaxiom gilt für alle Mengen bzw. Teilmengen aus R. Dann muss auch, wenn ich mir eben nur einen Teilmenge der reellen Zahlen, eben die rationalen Zahlen betrachte, dies dort auch gelten, oder?

Richtig. Du könntest es so aufschreiben: Sei $\begin{eqnarray*} A\subset B\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und A und B nichtleer. Ist A nach oben beschränkt, so besitzt A ein reelles Supremum!

Zitat:

Original von Lockto
Demnach hat die Menge:

M:={x; x^2<=2, x aus Q}

doch auch ein Supremum, muss es doch haben, laut Vollständigkeitsaxiom. Ich habe eine Teilmenge der rellenen Zahlen, welche nach oben beschränkt ist.
Warum besitzt diese Menge kein Supremum?
Ich würde sagen es ex. kein Max, da Wurzel(2) nicht rational ist, dennoh müsste es ein Supremum geben?

Die Menge $\begin{eqnarray*} A:=\{x\in \mathbb Q\ |\ x^2<2\} \subset \mathbb Q\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist nach oben beschränkt, also besitzt A ein reelles Supremum! Das Problem ist einfach, dass das Supremum reell ist und so definiert ist, dass es reell ist. Die Existenz des Supremums ist sozusagen durch die Lückenlosigkeit der reellen Zahlen gesichert (und andersrum: Es beschreibt diese gerade) und da $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nunmal nicht lückenlos ist, gilt dort das Supremumsprinzip nicht. Das Supremum wird in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ so definiert:

Das Supremum einer Menge A in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist, falls sie existiert, diejenige rationale Zahl, die die kleinste obere Schranke von A ist.

Das bedeutet aber, dass deine Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ kein Supremum besitzt, da das in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ existierende Supremum nunmal irrational ist.

@Leopold
Ja, du hast Recht! Ich kann mich erinnern, dass Forster das mit dem archimedischen Axiom + Cauchyschen Konvergenzprinzip macht. Ich hab mich selbst komischerweise gerade in den letzten Tagen damit beschäftigt und kann sagen, dass man folgendes alles als Vollständigkeitsaxiom formulieren kann und alles andere dann daraus folgt (all diese Dinge sind also äquivalent):

1. Schnittaxiom (jeder Dedekindsche Schnitt besitzt genau eine Trennungszahl)
2. Supremumsprinizip
3. Monotonieprinzip (eine monotone beschränkte Folge ist konvergent)
4. Prinzip der Intervallschachtelung (jede Intervallschachtelung erfasst genau eine Zahl)
5. Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß + Archimedisches Axiom
6. Cauchysches Konvergenzprinzip + Archimedisches Axiom

Das mal als Übersicht. Augenzwinkern

17.04.2005, 21:29

Lockto

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Aha, also muss das Sup immer aus R sein, bzw. ist es automatisch, da R eben vollständig ist.

Aber nun nochmal abschließend die Frage, ob das Vollständigkeitsaxiom und die Vollständigkeit etwas miteinander zutun, haben, da sind ja nun einige Widersprüchliche Antwoerten eingegangen.

THX
Lockto

17.04.2005, 21:52

Mathespezialschüler

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Naja, wie oben schon gesagt: Durch das Vollständigkeitsaxiom bekommt man ja immer, dass jede Cauchy-Folge aus R konvergiert. Man kann das Vollständigkeitsaxiom also auch so formulieren:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist bzgl. des Betrags vollständig (oder anders: ein Banachraum).

Da aber das Vollständigkeitsaxiom für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ formuliert ist, kann man da mMn keine weiteren Aussagen machen, du kannst halt nur die Analogie des Vollständigkeitsaxioms für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zur Definition der Vollständigkeit eines normierten Raumes feststellen.

18.04.2005, 15:42

gast1

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Hier ein Beweis für die vorhin angesprochene Isomorphie:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...cle.php?sid=659

18.04.2005, 19:17

martins1

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Eine grundsätzliche Frage: Was ist R?

a) Ist R der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Körper, der die rationalen Zahlen enthält, angeordnet ist, das Archimedische Axiom erfüllt und ein Vollständigkeitsaxiom?

b) Ist R die Menge aller unendlichen Dezimalzahlen? (Außer jenen, wo fast alle Stellen gleich 9 sind)

c) Ist R der Körper der Cauchyfolgen, die nach den Nullfolgen faktorisiert wurden und in dem anschließend Q isomorph eingebettet wurde?

Im Falle a) kann man verschiedene Vollständigkeitsaxiome verwenden:
1) Jede nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum
2) Jeder Dedekind'sche Schnitt bestimmt eine reelle Zahl
3) Jede Cauchy-Folge ist konvergent
4) Jede Intervallschachtelung bestimmt eine reelle Zahl
5) Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent
6) Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge
7) Jede unendliche und beschränkte Menge besitzt einen Häufungspunkt
8) Jede offene Überdeckung eines abgeschlossenen und beschränkten Intervalls besitzt eine endliche Teilüberdeckung
Man kann zeigen, dass in einem angeordneten Körper alle diese Aussagen äquivalent sind. Es ist gleich, welche man fordert.

In den Fällen b) und c) zeigt man, dass 1)-9) gelten.

Bevor man über "Eigenschaft", "Axiom" und "R", streitet, sollte man sagen, was R überhaupt ist.

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