unterraum modulo 2

11.11.2007, 10:16

miranda

unterraum modulo 2

Hallo!
Ich habe ein ziemlich großes Problem mit dieser Aufgabe, weil ich mir einfach überhaupt nichts darunter vorstellen kann. Ich hoffe mir kann irgendjemand weiterhelfen.

Es bestehe E aus allen Vektoren x = ( $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) Element F^7_2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} x_5 = x_2 + x_3 + x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_6 = x_1 + x_3 + x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_7 = x_1 + x_2 + x_4 \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, dass E ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} F^7_2 \end{eqnarray*}$ mit 16 Elementen ist und dass sich je zwei verschiedene Element aus E an mindestens drei Stellen unterscheiden.

Ich weiß, dass der Körper über dem der Vektorraum aufgespannt wird aus den Resklassen 0 und 1 besteht. Damit E ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} F^7_2 \end{eqnarray*}$ wird, muss er selbst ein Vektorraum bezüglich Addition und skalarer Multiplikation sein. Was wird hier von mir verlangt? Soll ich den Körper E modulo 2 finden mit Additions- und Multiplikationstafeln und dabei auf das Ergebnis kommen, dass dieser Körper aus 16 Elementen besteht? Wenn ja, wie fängt man so etwas an?

Ich bin wirklich verzweifelt und hoffe auf Hilfe!
Danke schonmal!

11.11.2007, 10:25

kiste

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Hallo,

E ist sicherlich kein Körper, sondern nur ein Untervektorraum Augenzwinkern

Und genau die Eigenschaften eines Untervektorraums musst du überprüfen. Wende einfach einmal die Untervektorraumkriterien an und schauen am Ende das du mod 2 beachtest.

Das E 16 Elemente hat ist einfach den nur 4 Variablen sind frei wählbar und deshalb ....

11.11.2007, 10:38

miranda

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Hallo!

Erstmal Danke für die schnelle Antwort. Ich soll also die Unterraumkriterien anwenden. Dafür wähle ich mir dann doch zwei verschiedene Vektoren Element E, also zum Beispiel:
(a,b,c,d,b+c+d,a+c+d,a+b+d) und (r,s,t,u,s+t+u,r+t+u,r+s+u)

Wenn ich die addiere erhalte ich z.B. für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ = a+r, da a Element E und r Element E sein sollen, muss dann auch a+r Element E sein, also stimmt das, oder?
Für $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ bekomme ich dann
$\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ = b+c+d+s+t+u = (b+s) + (c+t) + (d+u) = $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Ähnliches erhalte ich für die skalare Multiplikation. Damit wären die Unterraumskriterien erfüllt, ich weiß aber nicht, wie ich modulo 2 in das ganze mit rein nehmen soll.

11.11.2007, 10:46

kiste

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Stimmt modulo 2 muss man es gar nicht mehr betrachten Augenzwinkern

Jetzt sagst du noch das die 0 auch in E ist und es ist ein UVR und damit bist du fertig Augenzwinkern

11.11.2007, 11:52

miranda

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Damit hab ich dann doch aber nur gezeigt, dass E ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} F^7_2 \end{eqnarray*}$ ist. Aber nicht, dass dieser 16 Elemente hat. Wie mach ich das denn?

11.11.2007, 12:01

kiste

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Das E 16 Elemente hat ist einfach den nur 4 Variablen sind frei wählbar und deshalb ....
vervollständige einfach diesen Satz Augenzwinkern

11.11.2007, 12:51

miranda

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Sorry, vielleicht steh ich auf nem Megaschlauch, aber ich weiß absolut nicht, worauf du hinaus willst... verwirrt

11.11.2007, 12:59

kiste

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Ok also du hast die Variablen x1,..,x4 die du frei wählen kannst, den daraus folgen dann x5,x6,x7.
Für x1,..,x4 kannst du entweder eine 0 oder eine 1 wählen.
Wieviele Wahlmöglichkeiten hast du also?

11.11.2007, 13:27

miranda

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Es wird nicht klarer...
Für x_1 kann ich also 0 oder 1 wählen, für x_2 0 oder 1 und so weiter. Das bedeutet ja, ich hab für x_1,...,x_4 8 Elemente. Für x_5,...,x_7 kann ja aber, egal welche Möglichkeit (0 oder 1) ich für die jeweiligen Komponenten wähle auch nur 0 oder 1 rauskommen, oder? Dann käme ich insgesamt aber nur auf 14 Elemente. traurig

11.11.2007, 13:50

kiste

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Zitat:

Original von miranda
Für x_1 kann ich also 0 oder 1 wählen, für x_2 0 oder 1 und so weiter. Das bedeutet ja, ich hab für x_1,...,x_4 8 Elemente.

Wie kommst den darauf?!
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0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Und jetzt zähl mal wieviele das sind...

11.11.2007, 14:21

miranda

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danke! jetzt hab ichs kapiert! ich hab viel zu kompliziert gedacht Hammer

11.11.2007, 22:05

miranda

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Den ersten Teil der Aufgabe (dass E ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} F^7_2 \end{eqnarray*}$ mit 16 Elementen ist) hab ich mittlerweile zeigen können.

Nun habe ich beim zweiten Teil der Aufgabe Probleme. Ich soll zeigen, dass sich je zwei verschiedene Elemente aus E an mindestens drei Stellen unterscheiden.
Ich habe hierfür folgenden Ansatz:
Zwei Vektoren v,w Element $\begin{eqnarray*} F^7_2 \end{eqnarray*}$ unterscheiden sich genau dann an i Stellen, wenn v-w i "Einsen" als Eintrag hat.

Mir ist klar, dass v-w genau da "Einsen" als Eintrag hat, wo sich die Elemente aus v und w unterscheiden. Sind v und w nämlich gleich, also beide Restklasse 0 oder Restklasse 1, dann ergibt die Differenz jeweils die Restklasse 0. Die Differenz Restklasse 1 wird nur durch die Subtraktion Restklasse 0 - Restklasse 1 oder umgekehrt erreicht.

Das hilft mir aber für die eigentliche Frage nicht wirklich weiter, oder?

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