Skalarprodukt auf Funktionenräume

11.11.2007, 11:23

mr_endres

Skalarprodukt auf Funktionenräume

Hallo,
es sei $\begin{eqnarray*} f,g : X \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$
wieso ist : $\begin{eqnarray*} <f,g>=\overline{f}\cdot g \end{eqnarray*}$ nicht positiv definit, und damit kein Skalarprodukt ? Ein Skalarprodukt wäre ja z.B. $\begin{eqnarray*} <f,g>=\int\overline{f(x)}\cdot g(x) \cdot d\mu(x) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} d\mu(x) \end{eqnarray*}$ das Maß ist. . Da sind mir die Eigenschaften klar.

Danke schon mal.

11.11.2007, 11:35

Monstar

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nunja es heißt skalarprodukt weil ein skalar rauskommen soll wenn du zwei elemente aus einer menge hineinsteckst und keine funktion..
für vektoren sind die schreibweisen <x,y> und x*y äquivalent

11.11.2007, 11:43

mr_endres

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aber X soll doch ein Funktionenraum sein, mir fällt nur keine Funktion ein, die eingesetzt nicht positiv definit liefert. Doch so eine Funktion muss es doch geben, sonst wäre es ja ein Skalarprodukt.

11.11.2007, 11:49

Dual Space

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Zitat:

Original von mr_endres
Doch so eine Funktion muss es doch geben, sonst wäre es ja ein Skalarprodukt.

Herjee nein. Die Funktion (nennen wir sie a) $\begin{eqnarray*} a(f,g)=\bar{f}\cdot g \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion der Gestalt $\begin{eqnarray*} a:X\times X\to Y \end{eqnarray*}$ , wobei Y wieder ein Funktionenraum ist. Also hat sie keine skalaren Bilder und kann demzufolge kein Skalarprodukt sein - egal ob positive Definitheit vorliegt oder nicht.

Andernfalls müsstest du die Operation " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " definieren. Imho ist damit die punktweise Multiplikation zweier Funktionen gemeint.

11.11.2007, 11:51

Monstar

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der punkt ist dass f*g das produkt zweier funktionen ist (so wie ich das interpretiere) und da kommt eine funktion raus und kein skalar.
das integral hingegen liefert dir eine zahl wenn du eine funktion reinsteckst. es geht nicht darum dass die funktion f*f(quer) reell und positiv ist..

11.11.2007, 11:55

mr_endres

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sorry, da stand ich wohl auf dem Schlauch, denn ich habe die Fumnktionen immer nur an einem festen Punkt ausgewertet betrachtet, das war Quatsch. Danke für die Antworten.

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