Koordinatengleichung und Normalform

11.11.2007, 12:25

Drapeau

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Koordinatengleichung und Normalform

Hallo werte User,

da bin ich wieder - mit einem Problem konfrontiert - und bitte euch um Rat/ Hilfe Wink

Wink

Und zwar habe ich folgende Aufgabe zu lösen - ich bin ehrlich - es ist eine Hausaufgabe, aber ich möchte lediglich an Hand dieses Beispiels eben das Prinzip und Problem verstehen.

Und zwar ist die Koordinatengleichung einer Ebene E gegeben:

$\begin{eqnarray*} E: 3x_1 - x_2 + 5x_3 = 105 \end{eqnarray*}$

Zu dieser Ebene E soll nun ein Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden, der zugleich ein Stützvektor von der Ebene E ist.

Zuletzt soll auch die zugehörige Ebenengleichung in Normalform angegeben werden.

_______________

Also es wäre klasse, wenn mir jemand einen Ansprung geben könnte, sodass ich mich ein wenig versuchen kann, will es ja wie gesagt auch selber lernen.

Ich bedanke mich recht herzlich im Vorraus!

mfG Drapeau

11.11.2007, 12:52

Drapeau

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Hab mich mal selbst versucht:

Ich habe aus $\begin{eqnarray*} E: 3x_1 - x_2 + 5x_3 = 105 \end{eqnarray*}$ folgendes erschlossen: $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=0 \end{eqnarray*}$ und somit erhalten: $\begin{eqnarray*} x_3 = 21 \end{eqnarray*}$

Somit würde der Stützvektor $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} \vec{p} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 21 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten wären 3, -1 und 5, und zugleich die Koordinaten des Normalenvektors $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Normalform lautet dann nach Adams Riesen:

$\begin{eqnarray*} [\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 21 \end{pmatrix}] * \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also das wäre meine Lösung der Aufgabe, aber ob das jetzt das Gefragte ist, weiß ich nicht, hoffe jemand kann mich aufklären.

mfG

11.11.2007, 12:58

aRo

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alle deine Ausführungen sind richtig, aber es ist nicht genau das Gefragte.

den Normalenvektor hast du ja schon bestimmt. Versuch mal, den so abzuändern, dass er gleichzeitig die Ebenegleichung selbst erfüllt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du weißt doch sicher, was du mit einem Normalenvektor alles machen darfst, ohne ihn seiner Funktion zu berauben?

11.11.2007, 13:04

Drapeau

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Ähm,

Hammer

*in der Schule nicht richtig aufgepasst hab* Hammer

Hammer

Aber kann ich den Normalenvektor jetzt einfach so wählen, sodass die Ebenengleichung einfach stimmt?

Oder hab ich das wohl wieder falsch verstanden? Big Laugh

Big Laugh

EDIT: würde es dann so stimmen?

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mfg!

11.11.2007, 13:08

aRo

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nene.

Du darfst einen Normalenvektor mit einem Skalar multiplizieren.

Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor einer Ebene ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \vec{n_1} =\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einer. Aber auch $\begin{eqnarray*} \vec{n_2} =\begin{pmatrix} 2\\4 \\6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(im ersten Beispiel *(-1) im zweiten *2)

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mach dir das mal anschaulich klar,dass das in der Regel erlaubt ist.

edit: Wie du auf den kommst, ist mir schleierhaft...

11.11.2007, 13:13

Drapeau

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@aRo, hab ganz vergessen mich zu bedanken, dafür nochmals ein Dankeschön.

Ok, das Prinzip hab ich jetzt verstanden, nur zur Aufgabe noch eine Bemerkung:

Also ich muss die Koeffizienten so wählen, sodass die dann 105 ergeben?

Falls ich mal wieder was falsch verstanden hast, kannst du mir das eventuell anhand des obrigen Beispiels von mir vorrechnen, ich glaube dann hab auch ich Laie das Problem gelöst.

mfG!

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11.11.2007, 13:14

aRo

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Zitat:

Original von Drapeau
Also ich muss die Koeffizienten so wählen, sodass die dann 105 ergeben?

das klingt schon mal gut Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.11.2007, 13:28

Drapeau

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Also würde ich den Normalvektor wie folgt wählen?

Ich habe den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit dem Faktor 15 erweitert.

Somit gilt für den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 45 \\ -15 \\ 75 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Koeffizienten wären 45; -15 und 75 ergeben eingesetzt in E dann 105.

$\begin{eqnarray*} E: 45x_1 - 15x_2 + 75x_3 = 105 \end{eqnarray*}$

Stimmt dies?

11.11.2007, 13:42

aRo

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oh, sorry, das war wohl mein Fehler. Ich habe dich missverstanden.

Pass auf, ich sags dir. Augenzwinkern

Augenzwinkern

also du hast den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Ebenengleichung: $\begin{eqnarray*} E: 3x_1-x_2+5x_3 = 105 \end{eqnarray*}$

wenn du jetzt den Normalenvektor einsetzen würdest, um festzustellen, ob $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ein Stützvektor ist (denn dieser müsste ja die Ebenengleichung erfüllen). Bekämst du:
$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3 -1 \cdot -1 +5 \cdot 5 = 35 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} 35 \not{=} 105 \end{eqnarray*}$ ist dieses n also kein Normalenvektor.

Jetzt versuchst du n anzupassen. Du siehst ja, dass es noch zu klein ist. Probiere es also mal mit $\begin{eqnarray*} \vec{n_1} =\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Und du erhälst 70. Also auch falsch...

was wäre nun dein Tipp? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.11.2007, 13:57

Drapeau

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Die Lösung würde dann wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Denke mal das wird nun richtig sein, nun ist der Normalvektor gleich der Stützvektor von E.

Aber eine Frage dann noch, wie kann man jetzt die Normalenform aufschreiben, denn nun ist ja $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ .

Kannst du mir das eventuell verraten?

mfG

PS: Nochmals vielen Dank!

11.11.2007, 14:05

aRo

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genauso wie vorher, wie dus im zweiten Post gemacht hast.

11.11.2007, 14:13

Drapeau

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Also würde es dann so ausschauen?

$\begin{eqnarray*} [\vec{x} - \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 15 \end{pmatrix}] * \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls ja, dann kann ich nur sagen: Perfekt und nochmals vielen Dank!

mfG

11.11.2007, 14:19

aRo

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stimmt

Augenzwinkern

danke fürs Dankeschön.

11.11.2007, 19:33

Drapeau

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Huhu,

ich nochmal, mir ist eins nochmal in Sinn gekommen:

Warum kann man eigentlich den Normalenvektor n variieren, ohne dass er seine Funktion verliert, was ist dafür die Erklärung?

lg

11.11.2007, 19:37

aRo

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ich fragte dich ja danach und meinte du sollst dir das veranschaulichen.

Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene - das ist seine Eigenschaft.
Was ist nun wenn ich ihn länger oder kürzer mache?
Was, wenn ich ihn "umklappe"?

11.11.2007, 19:40

Drapeau

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Das mit den länger machen und kürzen machen versteh ich nicht ganz, denn sind Geraden nicht unendlich lang, also die Vektoren? Forum Kloppe

Forum Kloppe

11.11.2007, 19:42

aRo

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Geraden und Vektoren sind etwas anderes!

Nein, ein Vektor hat eine bestimmte Länge. Das ist eine Eigenschaft von ihm!

11.11.2007, 19:45

Drapeau

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Naja, ok aber dann ändert die Länge auch nichts daran, dass das Skalarprodukt dann 0 ist, oder?
Also ob es jetzt sehr lang oder kurz ist, also die Normale ist doch eigentlich egal, oder?

lg

11.11.2007, 20:16

aRo

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ja, das ist egal. Wäre es anders, dürftest du das mit dem Normalenvektor auch nicht machen.

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