Rekursive Folge |
11.11.2007, 12:30 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Rekursive Folge Ich möchte von einer rek. Folge den Grenzwert bestimmen (1). Es soll der goldene Schnitt sein. Ich soll allerdings vorher noch zeigen, dass die Folge monoton wächst (2) und nach oben beschränkt ist (3). Folge: | Zu (2): Ich habe mir dafür mal die v. Induktion ausgeguckt. Induktionsanfang: Induktionsschritt Nach Annahme ist Das ist also ist aber nichts anderes als . Daraus folgt das Ist das soweit korrekt? Wie zeige ich nun (3), also dass die Folge nach oben beschränkt ist? P.S.: Zu (1) habe ich auch noch keine Idee. Aber dazu später mehr. |
||||||
11.11.2007, 12:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du sagst dass nicht anderes wäre als . aber dann wäre ja für alle n, was definitiv nicht gilt. viel mehr musst du so vorgehen: IV: IS: und dass sie beschränkt ist, folgt direkt aus der monotonie. denn wenn größer als 2 wäre, was wäre dann ? |
||||||
11.11.2007, 13:02 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann hieße dass ja ist. Kann man das so machen? Was heißt das IV über dem <, Induktionsvorraussetzung?
Das leuchtet mir nicht ganz ein. |
||||||
11.11.2007, 13:07 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie kommst du denn auf ? und das was danach kommt ist noch größerer unfug. was ist, steht direkt in der rekursiven definition dieser folge. IV soll, wie du schon geahnt hast, Induktionsvorraussetzung bedeuten, um zu verdeutlichen, dass dieses ungleichungszeichen eben wegen der induktionsvorraussetzung gilt. wobei die monotonie der wurzelfunktion da auch noch eine rolle spielt. |
||||||
11.11.2007, 13:21 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry völlig gedankenlos. Das = ist natürlich falsch. Also ich versuche es noch einmal. IS: Das ist gleich aber doch Das sieht etwas komisch aus, aber es ist doch . |
||||||
11.11.2007, 13:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es muss oder lauten, denn ist ein klarer widerspruch zu |
||||||
Anzeige | ||||||
|
||||||
11.11.2007, 13:42 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry. Es heißt ist nun also Hmm, wie gehts denn nun weiter? |
||||||
11.11.2007, 13:43 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein du machst falsch weiter. guck dir mal die rekursionsvorschrift und ersetze n durch n+1. dann steht da direkt was ist. |
||||||
11.11.2007, 13:53 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun bin ich etwas verwirrt. Die Rekursionsvorschrift ist die Formel, ja? Ist dann |
||||||
11.11.2007, 13:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja und damit ist der beweis der monotonie abgeschlossen. jetzt schau dir nochmal meinen ersten post an, was ich dort über die beschränktheit gesagt habe. versuche das mal zu verstehen. wende dabei natürlich wieder die rekursionsvorschrift an. |
||||||
11.11.2007, 14:04 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu (3) Beschränkt ist die Folge auf Grund der Monotnie da somit existiert eine Beschränktheit (nach oben, Nachfolger ist größer). Kann man das so sagen, oder ist das kompletter Schwachsinn? |
||||||
11.11.2007, 14:33 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir ist gerade noch eine Idee zum Goldenen Schnitt i.f. gekommen. Ich möchte zeigen dass die Folge gegen konvergiert. Die Folge konvertgiert ja eigentlich gegen das so dass ich meine Behauptung wie folgt schreiben könnte Das wäre nach Umformung Die Umformung hat zwar zwei Lösungen jedoch entfällt die negative, da . Ist das halbwegs in Ordnung? Mein Taschenrechner bestätig es (ist zwar kein Argument), aber ein anderes wüsste ich nicht. |
||||||
11.11.2007, 14:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grundsätzlich muß man erstmal sagen, daß im Allgemeinen aus der Monotonie nicht die Beschränktheit folgt. Allenfalls kann man sagen, daß eine monoton steigende Folge nach unten beschränkt ist. Aber nach oben könnte sie unbeschränkt sein. (@tmo: das ist eben so.) In diesem speziellen Fall kann man aber sagen: wenn irgendwann x_n = 2 wäre, dann wäre x_{n+1} = Wurzel(3) kleiner als 2, was im Widerspruch zur steigenden Monotonie steht. |
||||||
11.11.2007, 14:37 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie sieht es denn mit holprigen Grenzwertbestimung aus? Ist das etwas? |
||||||
11.11.2007, 14:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip ja. Du solltest aber auf die Logik achten. Richtig formuliert man so: Da die Folge wegen der steigenden Monotonie und der Beschränktheit nach oben einen Grenzwert g hat, konvergiert also x_n gegen g. Es muß daher gelten: |
||||||
11.11.2007, 15:22 | g_ast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Recht schönen Dank. |
||||||
11.11.2007, 15:43 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist mir klar aber bei dieser folge folgt es nunmal aus der monotonie. allerdings ist deine begründung noch nicht komplett: denn den fall zu betrachten reicht ja nicht, sondern man muss den fall betrachten. das könnte man z.b. so machen: für daraus folgt für was im widerspruch zur monotonie steht. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|