Rekursive Folge

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g_ast Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge
Hallo!

Ich möchte von einer rek. Folge den Grenzwert bestimmen (1). Es soll der goldene Schnitt sein. Ich soll allerdings vorher noch zeigen, dass die Folge monoton wächst (2) und nach oben beschränkt ist (3).

Folge: |

Zu (2): Ich habe mir dafür mal die v. Induktion ausgeguckt.

Induktionsanfang:



Induktionsschritt


Nach Annahme ist
Das ist also
ist aber nichts anderes als .
Daraus folgt das

Ist das soweit korrekt?

Wie zeige ich nun (3), also dass die Folge nach oben beschränkt ist?

P.S.: Zu (1) habe ich auch noch keine Idee. Aber dazu später mehr.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

du sagst dass nicht anderes wäre als .

aber dann wäre ja für alle n, was definitiv nicht gilt.

viel mehr musst du so vorgehen:

IV:


IS:



und dass sie beschränkt ist, folgt direkt aus der monotonie.

denn wenn größer als 2 wäre, was wäre dann ?
g_ast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
IS:


Dann hieße dass ja ist. Kann man das so machen? Was heißt das IV über dem <, Induktionsvorraussetzung?

Zitat:
Original von tmo
und dass sie beschränkt ist, folgt direkt aus der monotonie.


Das leuchtet mir nicht ganz ein.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du denn auf ? und das was danach kommt ist noch größerer unfug.

was ist, steht direkt in der rekursiven definition dieser folge.

IV soll, wie du schon geahnt hast, Induktionsvorraussetzung bedeuten, um zu verdeutlichen, dass dieses ungleichungszeichen eben wegen der induktionsvorraussetzung gilt. wobei die monotonie der wurzelfunktion da auch noch eine rolle spielt.
g_ast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
wie kommst du denn auf ? und das was danach kommt ist noch größerer unfug.

was ist, steht direkt in der rekursiven definition dieser folge.


Sorry völlig gedankenlos. Das = ist natürlich falsch. Also ich versuche es noch einmal.

IS:

Das ist gleich aber doch



Das sieht etwas komisch aus, aber es ist doch .
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

es muss oder lauten, denn ist ein klarer widerspruch zu
 
 
g_ast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
es muss oder lauten, denn ist ein klarer widerspruch zu


Sorry. Es heißt



ist nun also



Hmm, wie gehts denn nun weiter?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

nein du machst falsch weiter.
guck dir mal die rekursionsvorschrift und ersetze n durch n+1.

dann steht da direkt was ist.
g_ast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
nein du machst falsch weiter.
guck dir mal die rekursionsvorschrift und ersetze n durch n+1.

dann steht da direkt was ist.


Nun bin ich etwas verwirrt. Die Rekursionsvorschrift ist die Formel, ja?



Ist dann
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ja und damit ist der beweis der monotonie abgeschlossen.

jetzt schau dir nochmal meinen ersten post an, was ich dort über die beschränktheit gesagt habe. versuche das mal zu verstehen. wende dabei natürlich wieder die rekursionsvorschrift an.
g_ast Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (3) Beschränkt ist die Folge auf Grund der Monotnie da somit existiert eine Beschränktheit (nach oben, Nachfolger ist größer). Kann man das so sagen, oder ist das kompletter Schwachsinn?
g_ast Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist gerade noch eine Idee zum Goldenen Schnitt i.f. gekommen.
Ich möchte zeigen dass die Folge gegen konvergiert.

Die Folge konvertgiert ja eigentlich gegen das so dass ich meine Behauptung wie folgt schreiben könnte Das wäre nach Umformung

Die Umformung hat zwar zwei Lösungen jedoch entfällt die negative, da . Ist das halbwegs in Ordnung?

Mein Taschenrechner bestätig es (ist zwar kein Argument), aber ein anderes wüsste ich nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich muß man erstmal sagen, daß im Allgemeinen aus der Monotonie nicht die Beschränktheit folgt. Allenfalls kann man sagen, daß eine monoton steigende Folge nach unten beschränkt ist. Aber nach oben könnte sie unbeschränkt sein. (@tmo: das ist eben so.) In diesem speziellen Fall kann man aber sagen: wenn irgendwann x_n = 2 wäre, dann wäre x_{n+1} = Wurzel(3) kleiner als 2, was im Widerspruch zur steigenden Monotonie steht.
g_ast Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht es denn mit holprigen Grenzwertbestimung aus? Ist das etwas?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja. Du solltest aber auf die Logik achten. Richtig formuliert man so:

Da die Folge wegen der steigenden Monotonie und der Beschränktheit nach oben einen Grenzwert g hat, konvergiert also x_n gegen g. Es muß daher gelten:
g_ast Auf diesen Beitrag antworten »

Recht schönen Dank.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Aber nach oben könnte sie unbeschränkt sein. (@tmo: das ist eben so.)


das ist mir klar Augenzwinkern aber bei dieser folge folgt es nunmal aus der monotonie.

allerdings ist deine begründung noch nicht komplett:
denn den fall zu betrachten reicht ja nicht, sondern man muss den fall betrachten.
das könnte man z.b. so machen: für

daraus folgt für was im widerspruch zur monotonie steht.
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