Konvergenz von folgen a(n)/n!

11.11.2007, 17:10

Aileron

Konvergenz von folgen a(n)/n!

Hi Leute.

Und schon wieder eine Frage zur Konvergenz von Folgen, ich bin mir sicher, ihr könnt sie schon nicht mehr sehen, aber leider muss wohl jeder Mathe Student da einmal durch.

Die (ziemlich) gleichlautenden Aufgaben, die ich bearbeiten muss sind:

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n^{k}}{n!} = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ fest

und

c) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!}= 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ fest

Anschaulich sind die Aufgaben ja klar, aber wie ich das Beweisen soll ist mir schleierhaft.
Mein Ansatz wäre, ich brauche eine Abschätzung.
Irgendwas mit n^k = (n- irgenwass)! oder so.
Auch nach langem suchen konnte ich hierzu leider nichts finden. Auch ist unser Prof bisher in den Vorlesungen nicht über den Körper der komplexen Zahlen hinausgekommen...
Der Königsberger hat mich nur noch mehr verwirrt.

Hierzu kommt meine nächste und dringendere Frage: Kennt ihr ein gutes (und Anfänger geeignetes) Analysis Lehrbuch, das mit anschaulichen Beispielen und ausführlicher Erklärung die Themen behandelt und nicht nur Sätze und Beweise aneinander reiht (dafür habe ich ja das Vorlesungsskript...)

mfg
Aileron

12.11.2007, 00:52

WebFritzi

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Für $\begin{eqnarray*} n\ge k+1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} n\le (n-k)(k+1). \end{eqnarray*}$

12.11.2007, 11:08

Aileron

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das verstehe ich nicht wirklich.

Ich meine, was bringt es mir den Exponenten zu erweitern?

Ist aber eigentlich jetzt auch egal. ich werde es mir nächste Woche in der Übungsgruppe anschauen.

Viel wichtiger ist mir aber, ob ihr mir ein gutes Lehrbuch empfehlen könnt (mal abgesehen von dem Königsberger)

mfg
Aileron

12.11.2007, 11:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von Aileron
das verstehe ich nicht wirklich.

Ich meine, was bringt es mir den Exponenten zu erweitern?

Das sollst du auch nicht. Mir fällt gerade auf, dass ich vielleicht einen anderen Namen für die Variable hätte wählen sollen. k ist ja fest. Beachte

$\begin{eqnarray*} n\le (n-j)(j+1)\;\Longrightarrow \frac{n}{(n-j)(j+1)}\le 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\ge j+1. \end{eqnarray*}$ Wenn du für j ein paar Zahlen einsetzt, wirst du sehen, was das hier für einen Nutzen hat.

Zitat:

Original von Aileron
Ist aber eigentlich jetzt auch egal.

Warum verschwendest du dann unsere Zeit?

12.11.2007, 11:34

klarsoweit

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RE: Konvergenz von folgen a(n)/n!
Alternativ kann man auch leicht zeigen daß die Reihen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{k}}{n!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n =1}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ konvergieren, woraus die Behauptung folgt. Augenzwinkern

12.11.2007, 11:37

WebFritzi

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LOL, stimmt. Das ist einfacher. Einfach das Quotientenkriterium draufschmeißen, und man ist fertig. Allerdings wissen wir nicht, ob Aileron das schon gemacht hat.

13.11.2007, 14:03

NeuroManiac

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Wäre es unzureichend, die erste aufgabe als erfüllt zu sehen, wenn gilt: Betrag n ^ k < Betrag n-fakultät ?
gruss
sorry, bin noch ein mathedummy Gott

13.11.2007, 14:09

WebFritzi

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Zitat:

Original von NeuroManiac
Wäre es unzureichend, die erste aufgabe als erfüllt zu sehen, wenn gilt: Betrag n ^ k < Betrag n-fakultät ?

Ja, das ist unzureichend.

n - 1 < n

13.11.2007, 16:34

Aileron

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Danke für die Hilfe smile

Ich habe in Wiki nachgeschaut, was das Quotientenkriterium angeht, und damit ist die Aufgabe ganz einfach zu lösen smile

wobei ich die Bedeutung von limsup nur erahnen kann...

Dummerweise kommt diese erst in voraussichtlich zwei Wochen in unserer Vorlesung dran, diese Woche hat unser Professor überhaupt erst definiert was eine Reihe ist.

Leider hat mir immer noch niemand ein gutes Analysis Buch empfohlen traurig

Zitat:

Zitat:
Original von Aileron
Ist aber eigentlich jetzt auch egal.

Warum verschwendest du dann unsere Zeit?

Entschuldigung, das war unglücklich ausgedrückt.
Ich persönlich interessiere mich sehr für die Lösung der Aufgaben, wenn ich nach ihnen Frage. Ich wollte eigentlich sagen, dass es jetzt keinen Zeitdruck mehr gibt, da die Abgabefrist für die Aufgaben bereits abgelaufen ist.

mfg
Aileron

13.11.2007, 17:41

NeuroManiac

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ja, das ist unzureichend.

n - 1 < n

Ist das die Ergänzung oder der Widerspruch zu meiner Aussage? Widerspruch würde ich sonst nämlich keinen erkennen...

14.11.2007, 01:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von NeuroManiac

Zitat: