Involution

16.04.2005, 19:33

nafets

Involution

Hallo zusammen,

heute gibt es ein bisschen Algebra. Folgende Aufgabe:

Zitat:

Eine Element $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eines Ringes (oder auch einer Gruppe) mit $\begin{eqnarray*} \alpha^{2} \end{eqnarray*}$ heißt Involution. Wir betrachten nun Involutionen im Endomorphismenring eines Vektorraums V über einem Körper K.
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi \in End_{K}(V) \end{eqnarray*}$ eine Involution, also $\begin{eqnarray*} \varphi \circ \varphi =id_{V} \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Wie gehe ich denn hier heran?

Danke im Voraus,

Stefan

16.04.2005, 21:44

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RE: Involution
Ich würde es eher so formulieren:

Zitat:

Welche Eigenwerte kann $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ höchstens haben?

Es ist nämlich kein Muss, dass jede Involution die gleichen Eigenwerte hat! Die Identität selbst etwa ist eine Involution, und hat offenbar nur den Eigenwert 1.

17.04.2005, 12:48

quarague

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schreib mal die Def für einen Eigenwert als Gleichung auf, wende auf diese Gleichung nochmal die Funktion an, und verwende dann, das die Funktion eine Involution ist, dann hast es auch schon Wink

17.04.2005, 15:47

nafets

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Danke,

werde ich mir so bald wie möglich mal anschauen.

Gruß,

Stefan

17.04.2005, 19:35

nafets

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Das ist die B-Aufgabe:

Zitat:

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist, wenn $\begin{eqnarray*} char K \neq 2 \end{eqnarray*}$ . (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass jeder Vektor eine Linearkombination von Eigenvektoren ist, indem Sie diese finden.)

.

Was ist denn bitte $\begin{eqnarray*} char K \end{eqnarray*}$ ? Im Skript taucht das nirgends auf. Ich vermute, dass es etwas mit dem charakteristischen Polynom zu tun hat.

Danke im Voraus,

Stefan

18.04.2005, 09:12

quarague

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char ist die Charakteristik des Körpers, defininert als
char K * 1 = 0
also wie oft muss ich 1 zu sich selbst addieren, damit Null herauskommt. Bei Körpern, wo das unendlich wäre vereinbart man noch charK=0 zu setzen (zB die reellen oder komplexen Zahlen)
der Körper $\begin{eqnarray*} F_p \end{eqnarray*}$ mit p Elementen (p prim) hat Charakteristik p.

18.04.2005, 14:31

Em'A'Ce

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Thx schonmal soweit...
Die Eigenwerte ermitteln ist kein Problem mehr. Man setzte einfach $\begin{eqnarray*} \varphi (x) = \lambda x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi (\varphi (x)) = \lambda \lambda x = x \end{eqnarray*}$ und erhält zwei nicht sehr überraschende Lösungen.
Aber wie geht man an den Beweis mit der Diagonalisierbarkeit heran?

MfG
Matze

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