RP diffeomorph zu S^1

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PsyPhi Auf diesen Beitrag antworten »
RP diffeomorph zu S^1
Hallo zusammen,

ich sitze nun schon Stunden an dem glaub ich gar nicht mal schwierigen Beweis, dass die Kreislinie und der reell projektive Raum RP diffemorph sind.
Allerdings scheitere ich schon daran den richtigen Diffeo zu finden, mein Ansatz war, zunächst die S^1 mit den komplexen Zahlen vom Betrag 1 zu identifizieren und zu quadrieren, um danach einfach die Projektion in den Quotientenraum zu nehmen.
Entsprechend muss man bei der Inversen ja zunächst den Repräsentanten normieren und ggf mit (-1) multiplizieren, um danach zu komplxifizieren und die Wurzel zu ziehen....
Das alles ist aber doch ziemlich umständlich und wenn ichs versuche nachzurechnen scheitere ich ...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: RP diffeomorph zu S^1
Ich muss erstmal das Problem verstehen, also ist die Einheits-Kreislinie in bzw. und was ist nun dieses RP genau ?

Grüße Abakus smile
PsyPhi Auf diesen Beitrag antworten »

Mit RP ist der reel projektive Raum gemeint, also R/rel wobei x rel y gdw x=c*y für ein c aus R
nichts anderes, als die Menge aller Ursprungsgeraden im R^2 die ihrerseits eine 1-dim Mannigfaltigkeit bilden, genau wie die Sphäre.
Gesucht ist nun ein Diffeomorphismus zwischen diesen beiden Mannigfaltigkeiten.

Das was ich habe versuche ich gleich mal in Formeln zu packen und genauer zu erklären - muss mich nur wieder in Latex einfinden^^
PsyPhi Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier mein Ansatz:
f: S^1 --> RP
(cos(t) , sin(t)) --> [( cos(t/2) , sin(t/2) )]

die eckigen Klammern bezeichnen die Äquivalenzklasse also die durch den Punkt aufgespannte Gerade

f^(-1) : RP ---> S^1
[(x,y)] -> 1/(x^2+y^2) * (x^2 - y^2 , 2xy)

Wenn ich nun beide verkette und hoffe, dass die Identität rauskommt, klappt das nur bei f^(-1) ° f, nicht aber bei f ° f^(-1) - in der ersten Koordinate ergibt sich wie geüwnscht x/sqrt(x^2+y^2) , in der zweiten sollte auch y/ (x^2 + y^2) rauskommen, das tut es aber nicht unglücklich
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest mal vorrechnen, dann sehen wir vielleicht mehr.

Meine Idee wäre sowas (Projektion auf die blaue Gerade):



Ich hoffe, die Idee ist erkennbar. Ob das ein Diffeomorphismus wird, wäre dann zu testen.

Grüße Abakus smile

PS: wenn du deine Formeln noch durch latex und \latex (jeweils noch in eckigen Klammern) einschließt, werden sie richtig dargestellt.
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