Polynomdivision

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blondi Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision
Hallo!

Also wir hatten zu Polynomdivision bisher das:
http://www.beepworld.de/memberdateien/members28/blondi-1987/polynomdivision.jpg

das hier hatten wir noch nicht:
http://www.beepworld.de/memberdateien/members28/blondi-1987/neues.jpg

und jetz meine Fragen dazu:

zu 1: Wie bestimmt man da die Nullstellen wenn man x^1 - 1 hat oder x^6-x^4?

zu 2: Wie bestimmt man Intervalle?

zu 3: Was genau sind Linearfaktoren und wie kommt man da dadrauf? verwirrt

Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
blondi
diveintojens Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1.)

Einfach umstellen:
0 = x(n)^1 - 1 = x(n)-1 |+1
x(n) = +1

0 = x(n)^6-x(n)^4
Hat 6 Nullstellen bei 0, oder? verwirrt
Also x(n1) = 0, x(n2) = 0, x(n3) = 0, x(n4) = 0...


Zitat:
Original von blondi
zu 3: Was genau sind Linearfaktoren und wie kommt man da dadrauf? verwirrt


Also angenommen du hast für eine Funktion f(x)
die folgenden Nullstellen 3 herrausgefunden:

x(n1) = 0 ... x(n2) = -1 ... x(n3) = +1

dann heißt die Linearfaktordarstellung der Gleichung:
f(x) = x * (x+1) * (x-1)

Die Linearfaktorstellung hast du bei der Polynomdivision ja auch schon aufgestellt...

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)
-felix- Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

allgemein geht man zur Nullstellenbestimmung bei Polynomen eines größeren Grades als 2 so vor:

zu 1:
1) Nullstelle raten bzw. durch Näherungsverfahren bestimmen, die Nullstelle sei a
2) Polynomdivision machen mit (Polynom) : (x-a), dabei bekommt man ein neues Polynom, dessen Grad um eins kleiner ist, als das ursprüngliche Polynom
3) Schritte 1 u. 2 wiederholen, bis man zu einem Polynom höchstens zweiten Grades gekommen ist
4) restliche Nullstellen mit Mitternachtsformel oder Zerlegung in Linearfaktoren lösen

zu 2:

Intervalle ist ein sehr allgemeiner Begriff, du meinst wahrscheinlich Intervalle, in denen alle bzw. . Die Intervallgrenzen sind logischerweise die Nullstellen, du musst dann nur noch mithilfe eines beliebigen x aus dem Intervall f(x) ausrechnen, und nun kannst du sagen, ob die Fkt.werte in diesem Intervall größer oder kleiner Null sind.

zu 3:
Diese Faktoren (x-a) nennt man Linearfaktoren

Felix
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Intervalle zu Aufgabe 9a):



Hier kann man sehr schön die Intervalle erkennen, wo f(x)>0 oder <0 ist. Dazu müssen die Nullstellen bekannt sein.
diveintojens Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision
Zitat:
Original von blondi
zu 2: Wie bestimmt man Intervalle?


Achja, und wenn du gebrochenrationale Funktionen hast o.ä., dann musst du natürlich nicht nur die Nullstellen, sondern auch die Definitionslücken - also Polstellen und Hebbaren Lücken - mit berücksichtigen.
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

zu Nr.1:

Wenn man x hoch irgendwas - x hoch irgendwas hat, warum gibt es dann n Nullstellen und nicht nur eine: 0 ? Weil sonst geht das doch für nichts auf außer 0 dass der Funktionswert 0 ergibt.

Wenn man z.B. x^8 = 1 umgeformt hat, is doch die einzige Nullstelle 1 oder nicht?


zu Nr.2:

Wenn ich z.B. für 3x³ - 11x² - 13x + 36 durch Polynomdivision ausgerechnet hab, dass die Nullstellen 4; 2,54 und -3,54 sind, wie errechne ich dann die Intervalle?


zu Nr.3:

Muss ich da einfach Polynomdivision machen und die Nullstellen ausrechnen. Und das dann am Ende so schreiben: (x-Nullstelle) * (x-Nullstell)*(x-Nullstelle) ?


Danke!!!!!!
Xenia
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn man z.B. x^8 = 1 umgeformt hat, is doch die einzige Nullstelle 1 oder nicht?

was hältst du denn von x=-1?
beachte auch, das nullstellen in größeen vielfachheiten auftreten können....

wenn du das genau machen willst, faktorisiere mit polynomdivision!
x=1, x=-1 nullstellen von f=x^8-1
also berechne (x^8-1)unglücklich x²-1)= ?..... x²-1 ist dabei (x+1)*(x-1)
dann kannst du anschließend schauen, ob 1, -1 vielleicht mehrfache NST sind....

zu 2) was für intervalle?

zu 3) schreibe dein polynom als f=a(x-NST1)*(x-NST2)....., wobei a der koeffizient von deiner höchsten potenz ist.....
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1:
wieso mehrfache nullstellen? was heißt das? und ich kann das logisch nich so nachvollziehen warum man durch 2 "erratene" nullstellen teilen muss um andre zu finden. kann mir das einer logisch erklären?

zu 2:
äh das steht da im 2. link bei mir oben die 2. aufgabe von oben.

zu 3:
also wär das für mein beispiel dann: 3 * (x-4) * (x-2,54) * (x+3,54) oder wie? und was hat man dann davon?
diveintojens Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blondi
zu Nr.3:

Muss ich da einfach Polynomdivision machen und die Nullstellen ausrechnen. Und das dann am Ende so schreiben: (x-Nullstelle) * (x-Nullstell)*(x-Nullstelle) ?



Du möchtest ständig die Nullstellen über die Polynomdivision ermitteln. Warum eigentlich? verwirrt

Du hast doch immer verschiedene Möglichkeiten - das ist von Art der Funktion und den Graden der Exponenten abhängig.

Du kannst entweder einfach nur umstellen und nach x auflösen, oder du klammerst aus, oder wendest die quadratische Nullstellenberechnung an, oder Substitution oder - wenn alles andere nicht geht - dann erst Polynomdivision.
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

wir hatten nur ers polynomdivision

also bei x^8 - 1 is ja klar dass das mit umstellen geht aber wie kann man das z.b. bei 3x - 11x² - 13x + 36 noch machen ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zu 3:
also wär das für mein beispiel dann: 3 * (x-4) * (x-2,54) * (x+3,54) oder wie? und was hat man dann davon?:

du kannst aus dieser form die nullstellen direkt ablesen, das ist praktisch!

Zitat:
und ich kann das logisch nich so nachvollziehen warum man durch 2 "erratene" nullstellen teilen muss um andre zu finden.

das ergibt sich doch direkt aus der faktorisierung!
du hast das polynom p mit NST a, dann kannst du es als p(x)=(x-a)*q(x) schreiben, also (x-NST) abspalten.....
danach kannst du also q(x) als p(x)/(x-a) bestimmen.......

die NST von p kannst du dann als NST von (x-a)(q(x)=0 bestimmen, dabei gilt, ein produkt wird dann 0, wenn einer dr faktoren 0 wird.
also entweder x=a oder NST von q(x).

klar?
diveintojens Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blondi
zu Nr.2:

Wenn ich z.B. für 3x³ - 11x² - 13x + 36 durch Polynomdivision ausgerechnet hab, dass die Nullstellen 4; 2,54 und -3,54 sind, wie errechne ich dann die Intervalle?


Die Nullstellen liegen aber bei 4, 1,58 und -1,92. Wink

Ich hoffe du verstehst jetzt was mit den Intervallen für positive und negative Funktionswerte gemeint ist...


edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
zu 3:
also wär das für mein beispiel dann: 3 * (x-4) * (x-2,54) * (x+3,54) oder wie? und was hat man dann davon?:

du kannst aus dieser form die nullstellen direkt ablesen, das ist praktisch!


also man rechnet die nullstellen aus, zieht sie von x ab und mulitpliziert sie miteinander und vor allem schreibt man den koeffizienten des x mit dem höchsten exponenten?

aber hierbei kann man das ja nur wenn man die nullstellen ers ausrechnet, wie säh das bei einfacheren beispielen aus wo man sofort auf faktorisierung kommen kann?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "einfacheren Beispielen"? Vielleicht sowas: f(x) = x^7 - x. Da kannst du x ausklammern. Das ist im Prinzip dasselbe wie Polynomdivision durch den Faktor (x - 0).
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

undendlich smile
uschidt Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Polynomdivision gibt es eine tolle Seite bei Arndt Brünner.
Adresse: move.to/mathe.
Vielleicht hilft sie Dir ja?
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

ich kapier das nich, wenn man das polynom teilt hat man dochn neues mit kleinerem grad, davon kann man halt die nullstellen bestimmen aber das is doch nich mehr das ausgangspolynom??

und was ich noch nich nachvollziehen kann, wenn man die nullstellen hat und das polynom halt so aufschreibt (x-nullstelle)*(x-nullstelle), warum muss man da nur den koeffizienten von xn davor schreiben?

zu den Intervallen:
1. Intervall: <-1,92
2. Intervall: -1,92 bis 1,58 also 3,5?
3. Intervall: 1,58 bis 4, also 2,42?
4. Intervall: 4<

verwirrt
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

helft mir bitte!! ich hab morgen mathe!!
Hilfe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich kapier das nich, wenn man das polynom teilt hat man dochn neues mit kleinerem grad, davon kann man halt die nullstellen bestimmen aber das is doch nich mehr das ausgangspolynom

das habe ich auch nirgendwo behauptet!
du spaltest es ja auch nur ab!

du hast x0 als NST erraten, dann kann f(x)=(x-x0)*g(x) so geschrieben werden.
danach kannst du dieses g(x) berechnen, indem du PD anwendest (f(x)/(x-x0)=g(x))
und dann in obiger form als produkt umschreiben.

danach weißt du, ein produkt wird 0, wenn einer der faktoren 0 wird!
also f(x)=0 <=> (x-x0)*g(x)=0 <=> (x-x0)=0 oder g(x)=0
x-x0=0 liefert die bekannte NST, g(x)=0 liefert gegebenenfalls neue NST.

mfg jochen
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

ok sind meine intervalle richtig?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

stimmen, du könntest aber noch angeben, ob f(x) in diesen intervallen jeweils > oder <0 ist.

und "2. Intervall: -1,92 bis 1,58 also 3,5? " das mit der 3,5 vergessen wir mal schnell, das ist nur die nicht interessierende intervallbreite.
schreibe -1,92<x<1,58

mfg jochen
diveintojens Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß zwar nicht wie's mathematisch korrekt ist (glaube 1< x < 10 geht auch), aber ansonsten stimmen die intervalle.

Edit: Boah, voll langsam. Ich sollte nicht immer rauchen gehen, wenn ich grad ne Antwort tippe. unglücklich
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

zu Nr. 10 von dem hier http://www.beepworld.de/memberdateien/members28/blondi-1987/neues.jpg

was sind biquadratische gleichungen und wie kommt man dadrauf wie man das faktorisieren soll und DANN ers die nullstellen ablesen soll ohne die vorher errechnet zu haben?

müsst ihr das beispiel rechts im kasten dafür sehn?? das erkennt man da ja nich
diveintojens Auf diesen Beitrag antworten »

Du ersetzt einfach x^4 durch z und legst fest, das z = x^2 sind.

Dann ersetzt du x durch z in der Gleichung

vorher: x^4 + 12x^2 - 998
nachher: z^2 + 12z - 998

Jetzt normal die Nullstellen der Quadratischen Funktion ausrechnen.

- p/2 +/- Wurzel(p^2/4-q)

Die Ergebnisse z1 und z2 bringst du dann wieder auf die Potenz von x.

vorher z1: -12, z2: +7
nachher: x1,2 = +/- Wurzel(z1) & x3,4 = +/- Wurzel(z2)

Wenn du nicht x^2 durch z ersetzt, sondern x^3 durch z..., dann ziehst du am Ende die 3. Wurzel, aber das trifft bei den Aufgaben in Nr. 10 eh nicht zu.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

stichwort saztz von vieta mal wieder, dafür musst du die nullstellen nicht wissen.

a) f(x)=x^4-5x²+4
substituiere y=x^2
f(x)=x^4-5x²+4=y²-5y+4 hier könntest du die NST von y berechnen, oder aber eben vieta anwenden....
...=y²-5y+4=(y-4)(y-1)=(x²-4)(x²-1)
die substitution mit y=x2 kannst du dir auch sparen, wenn du es ohne siehst....

mfg jochen
diveintojens Auf diesen Beitrag antworten »

Satz von Vieta? verwirrt Nie gehört. unglücklich
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das problem an deiner methode ist, dass sie sich nicht auf diesen teil bezieht:
Zitat:
was sind biquadratische gleichungen und wie kommt man dadrauf wie man das faktorisieren soll und DANN ers die nullstellen ablesen soll ohne die vorher errechnet zu haben?

der vieta hilft einem in einigen fällen mit relativ offensichtlicher faktorisierung bei dieser.
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