Aufgabe bezüglich Mengen ( surjektiv, ect)

11.11.2007, 19:32

martina.meier

Aufgabe bezüglich Mengen ( surjektiv, ect)

Hallo!

Ich sitze seit stunden vor einer Aufgabe ohne sie zu verstehen. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen! Freude

Also...

Sei f: M -> P(M) eine Abbildung von einer (endlichen oder unendlichen) Menge M in ihre Potenzmenge P(M) und A: = {a (element von) M | a (nicht element) f(a)}
Zeigen Sie: Es gibt kein m (element von) M mit f(m) = A
Hinweis: Widerspruchsbeweis.

und nächster Teil

Folgern Sie aus dem vorhergehenden, dass es keine surjektiven Abbildungen von M auf P(M) geben kann. ( P(M) ist immer mächtiger als M) Stimmt dieses Ressultat mit dem überein, was wir für endliche Mengen wissen.

Wäre echt sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet! smile

lg, martina

11.11.2007, 19:38

tigerbine

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Aufgabe 1
Und was sind deine Ansätze?

$\begin{eqnarray*} f:~M \to \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A: = \{a \in M ~|~ a \notin f(a)\} \end{eqnarray*}$

Ist da das f(a) richtig oder sollte es f(A) heißen? verwirrt

11.11.2007, 19:40

martina.meier

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hi!

f(a) ist richtig. und das sind die ansätze ja. Wusste nur nicht wie man die formeln hier rein schreibt! smile

11.11.2007, 19:40

Abakus

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RE: Aufgabe bezüglich Mengen ( surjektiv, ect)
OK, wo steckst du fest ? Du hast eine Anleitung (indirekter Beweis) und könntest damit loslegen.

Grüße Abakus smile

edit: Tigerbine war schneller Augenzwinkern

11.11.2007, 19:47

martina.meier

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ich weiß nicht, ich hab soviele ansätze versucht, dass ich garnicht mehr weiter weiß. ich dachte man nimmt an m liegt in A. $\begin{eqnarray*} m \in A \end{eqnarray*}$

grüüüße

11.11.2007, 19:52

tigerbine

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Hallo Abakus Wink

ich müßte eigentlich noch etwas anderes tun, überlasse Dir also gerne das Feld.

Davon abgesehen, "verwirrt" mich die Schreibweise $\begin{eqnarray*} a \notin f(a) \end{eqnarray*}$ Ist denn die Mächtigkeit von f(a) größer 1? Ich hätte da eher ein $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ erwartet?

LG,
tigerbine

11.11.2007, 21:45

Abakus

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Zitat:

Original von tigerbine
Davon abgesehen, "verwirrt" mich die Schreibweise $\begin{eqnarray*} a \notin f(a) \end{eqnarray*}$ Ist denn die Mächtigkeit von f(a) größer 1? Ich hätte da eher ein $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ erwartet?

$\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ ist selbst eine Menge, daher macht die Forderung $\begin{eqnarray*} a \notin f(a) \end{eqnarray*}$ Sinn.

Also: indirekter Beweis:

Annahme: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m) = A \end{eqnarray*}$ .

Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten, die durch Fallunterscheidung zu untersuchen sind:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} m \in A \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} m \notin A \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen musst du überlegen, was das genau heißt und einen Widerspruch folgern.

Grüße Abakus smile

11.11.2007, 21:49

tigerbine

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Hi Abakus,

wie sehen denn die Elemente von f(a) aus? Oder, da man es hier wohl gar nicht so konkret braucht, wie könnte eine solche Abbildung definiert sein? Ich war wohl zu dicht am Funktionsbegriff.

Danke,
tigerbine

11.11.2007, 22:15

Abakus

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Wenn du ein Beispiel möchtest:

$\begin{eqnarray*} M = \{1, 2, 3, 4\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = \{1, 2, 3\}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2) = \{1\}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3) = \{1, 3\}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4) = \emptyset, \end{eqnarray*}$

damit:

$\begin{eqnarray*} A = \{2, 4\} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

11.11.2007, 22:57

tigerbine

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Jetzt habe ich meinen Denkfehler gefunden. Und der Groschen bzgl. dem schon von Dir erwähnten

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ ist selbst eine Menge, daher macht die Forderung $\begin{eqnarray*} a \notin f(a) \end{eqnarray*}$ Sinn.

ist gefallen. Danke Wink

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