Wahrscheinlichkeit von X kaputten Produkten

11.11.2007, 19:46

eistee

Wahrscheinlichkeit von X kaputten Produkten

Hallo,

es sei n gleich 55 (Stichprobenumfang) aus einem Produktionslos. Die Wahrscheinlichkeit für ein kaputtes Produkt beträgt 0,005.

Habe eine simple Frage:
Die Wahrsch.keit, dass insgesamt alle 55 Dinger fehlerfrei sind, beträgt ja 0,995^55 = 0,759.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eines kaputt ist, beträgt n * p (1-p)^(n-1), in unserem Fall 55*0,005*0,995^54 = 0,210.

Bloß: Wie rechne ich die Wahrscheinlichkeit aus, dass 2, 3, 4... ...x Dinger kaputt sind?

Es müsste ja auch mit der Poissonverteilungsformel gehen (oder??), aber wie rechne ich das ohne Poisson aus?

Danke

11.11.2007, 19:59

tigerbine

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Die Aufgabenstellung impliziert, dass wir für jedes Produkt die unabhänge DefektWS von $\begin{eqnarray*} p=0.005 \end{eqnarray*}$ annehmen können. Nun gibt es hier nur defekt oder nicht defekt. Da sollte man den Namen Bernoulli-Kette im Hinterkopf haben. Geprüft werden nun $\begin{eqnarray*} n=55 \end{eqnarray*}$ Produkte, also kennt man auch die Länge der Kette.

Wie kann man nun, wenn X die Anzahl der defekten Teile beziffert, die WS-Verteilung beschrieben? -> Binomialverteilung

11.11.2007, 20:08

eistee

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Aber wie rechne ich die Wahrscheinlichkeit denn mit der Methode aus, mit der ich P(x=0) und P(x=1) ausgerechnet habe???

11.11.2007, 20:10

tigerbine

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Du musst die Links schon lesen, dann wüßtest Du es. Da wird eben summiert. Augenzwinkern

11.11.2007, 20:16

eistee

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Versteh ich immer noch nicht. In meinem Skript steht es so wie oben, also ohne Binomialverteilungsformeln.
Das war eine Beispielaufgabe mit Lösung, in der die Frage war, wie groß P ist, dass max. 1 kaputt ist (=> 0 kaputt + 1 kaputt).

Wenn ich aber wissen wollte, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass max. 2 kaputt sind, funktioniert die Formal aus meinem Eröffnungspost nicht mehr (n * p (1-p)^(n-1))

11.11.2007, 20:19

tigerbine

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Lies doch was ich schreibe, ...

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \end{eqnarray*}$

11.11.2007, 20:37

eistee

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Aber wie rechne ich P(x=2) aus? Darauf wollte ich doch hinaus. smile

11.11.2007, 20:42

tigerbine

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Auch das steht im Link böse

Zitat:

...
Die Bestimmung der Anzahl einer bestimmten Eigenschaft in einer Stichprobe aus einer Menge von Elementen, wenn die Reihenfolge beim Entnehmen der Stichprobe aus der Gesamtmenge keine Rolle spielt, und die entnommenen Elemente wieder zurückgelegt werden („Ziehen mit Zurücklegen“). Beispiel: Ein Korb enthält N Bälle, davon sind M schwarz und N − M weiß. Die Wahrscheinlichkeit, einen Schwarzen zu ziehen, ist also $\begin{eqnarray*} p = M / N \end{eqnarray*}$ . Es werden einzeln und nacheinander insgesamt n Bälle entnommen, untersucht und wieder zurückgelegt. Dabei werden k Schwarze identifiziert. Insgesamt gibt es Nn Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle. In $\begin{eqnarray*} {n\choose k}M^{k}(N-M)^{n-k} \end{eqnarray*}$ Fällen davon werden k schwarze Bälle ausgewählt, d.h. die Wahrscheinlichkeit, unter n Bällen genau k Schwarze zu finden ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname{P}(k)= {n\choose k}\frac{M^{k}(N-M)^{n-k}}{N^{n}} = {n\choose k}\left(\frac{M}{N}\right)^{k}\left(\frac{N-M}{N}\right)^{n-k} = {n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

Nun klar?

12.11.2007, 10:20

eistee

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Aber ich hab doch auch dazugesagt, wie man es berechnet OHNE Bionomialverteilungs- odr Poissionformel!

Weil für x=0 und x=1 geht's ja anscheinend auch ohne Binomialverteilungsformel. smile

12.11.2007, 10:21

eistee

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Aber anscheinend gehen die im 1. Beitrag erwähnten Formeln nur aus der Bionomialvert.formel hervor?? verwirrt

12.11.2007, 10:33

tigerbine

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Ja, das sind Spezialfälle. Du sagtest

Zitat:

Es müsste ja auch mit der Poissonverteilungsformel gehen (oder??), aber wie rechne ich das ohne Poisson aus?

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