Adjunktion einer Quadratwurzel

11.11.2007, 19:20	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjunktion einer Quadratwurzel Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen: Konstruieren Sie den kleinsten Erweiterungskörper $\begin{eqnarray} Q \lbrack \sqrt{2} \rbrack \end{eqnarray}$ der rationalen Zahlen $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ , in dem die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2=2 \end{eqnarray}$ lösbar ist. Mal abgesehen davon, dass ich nicht genau weiß was ein Erweiterungskörper genau ist und bisher auch nichts dazu gefunden habe (hoffe mir kann das wer erklären), wie gehe ich das ganze an? Ich hab echt keine Idee dazu.
11.11.2007, 19:40	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\sqrt 2]=\{a+\sqrt2\cdot b:~a,b\in\mathbb Q\} \end{eqnarray}$
11.11.2007, 20:29	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
mh, in Ordnung, ich weiß jetzt nich ob dich das ganze so richtig verstanden habe, aber Danke schonmal fürs Verlinken. Jetzt weiß ich aber immernoch nicht wie ich eine solche Konstruktion mache.
11.11.2007, 21:32	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip habe ich dir das Endergebnis schon verraten. $\begin{eqnarray} \sqrt2\in\mathbb R \end{eqnarray}$ ist algebraisch über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu(X)=X^2-2 \end{eqnarray}$ . Betrachte den Substitutionshomomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb Q[X] \to \mathbb R,~ f\mapsto f(\sqrt2) \end{eqnarray}$ Dieser induziert einen Isomorphismus $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X]/(\mu)\cong \mathbb Q[\sqrt2]=\{a+\sqrt2\cdot b:~a,b\in\mathbb Q\}\subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ Insbesondere ist $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\sqrt2] \end{eqnarray}$ die kleinste Körpererweiterung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , in der die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2=2 \end{eqnarray}$ lösbar ist. Gruß, therisen
11.11.2007, 22:00	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, okay, das du mir im Prinzip die Lösung schon verraten hattest wusste ich ich wollte nur nochmal verstehen wie man das ganze konstruiert, hab das aber jetzt nachvollziehen können. Danke dir

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