Potenzgesetze bei Gruppen

12.11.2007, 11:22

Bonni

Potenzgesetze bei Gruppen

Moin moin!

Kann mir vielleicht jemand hierbei helfen:

Es sei G eine gruppe. Zeigen Sie:

(a) Es ist $\begin{eqnarray*} g^{k} g^{l}=g^{k+l} \end{eqnarray*}$ für alle g $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G und k,l $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z (ganze Zahlen).
(b) Es ist $\begin{eqnarray*} (g^{k})^{l}=g^{kl} \end{eqnarray*}$ für alle g $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G und k,l $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z (ganze Zahlen).

Danke schonmal im vorrau

MfG Robin

12.11.2007, 23:27

Abakus

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RE: Potenzgesetze bei Gruppen
Beweise es zB induktiv, wenn sich nichts Besseres anbietet.

Grüße Abakus smile

13.11.2007, 10:10

Bonni

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RE: Potenzgesetze bei Gruppen
Hmm... hab ich auch auf irgendeiner Internetseite auch gelesen das man das INduktiv machen solll... hab da aber noch kleine probleme mit... deswegen hab ich das ganz trivial gemacht:

$\begin{eqnarray*} g^{k}*g^{l}=(g*g*...*g)*(g*g*...*g) \end{eqnarray*}$

In der ersten Klammer das ganze k-mal in der zweiten l-mal. Dann hab ich geschrieben, da das Assoziativgesetz bei der Gruppe gilt, ist das das selbe wie:

$\begin{eqnarray*} g^{k}*g^{l}=g*g*...*g \end{eqnarray*}$

In dem Fall dann k+l - mal, also:

$\begin{eqnarray*} g^{k}*g^{l}=g^{k+l} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal das das so akzeptiert wird... obwohl mir aufgefallen ist, dass ich bei beweisen oft viel zu kompliziert denke. Muss das allerdings heute bis 14 Uhr abgeben. Vielleicht kannst du mir trotzdem nochmal die Induktive Form zeigen... würd mich trotzdem interessieren... muss jetzt aber erstmal zur Uni!

Danke nochmal! Tschau

13.11.2007, 11:09

kiste

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Das Problem an deiner Formulierung ist meiner Meinung nach das du negative Exponenten nicht beachtest. Das könntest du mit einer vollständigen Fallunterscheidung oder so ja beheben.
Für natürliche Zahlen ist es aber meines Erachtens in Ordnung.

13.11.2007, 17:02

Abakus

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RE: Potenzgesetze bei Gruppen

Zitat:

Original von Bonni
Hmm... hab ich auch auf irgendeiner Internetseite auch gelesen das man das INduktiv machen solll... hab da aber noch kleine probleme mit... deswegen hab ich das ganz trivial gemacht:

$\begin{eqnarray*} g^{k}*g^{l}=(g*g*...*g)*(g*g*...*g) \end{eqnarray*}$

In der ersten Klammer das ganze k-mal in der zweiten l-mal. Dann hab ich geschrieben, da das Assoziativgesetz bei der Gruppe gilt, ist das das selbe wie:

$\begin{eqnarray*} g^{k}*g^{l}=g*g*...*g \end{eqnarray*}$

In dem Fall dann k+l - mal, also:

$\begin{eqnarray*} g^{k}*g^{l}=g^{k+l} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal das das so akzeptiert wird...

Ich würde es so nicht gelten lassen. Du hast zwar recht, es ist das Assoziativgesetz, doch das solltest du in dieser Form ja gerade beweisen (du hast das Assoziativgesetz mit 3 Gruppenelementen, nicht mehr). Ferner ist die Schreibweise "..." hier prinzipiell angreifbar, weil der Leser raten darf, wofür die Pünktchen nun stehen sollen.

Du brauchst eine Vollständige Induktion über l bei festem k.

Grüße Abakus smile

13.11.2007, 17:22

Bonni

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Also wir lernen in den Vorlesungen nichts anderes:

g*g*g*...*g, dann ne mengenklammer drunter und dann n-mal dahinschreiben... soll stehen für g^n... Für die Aufgabe war auch vorrausgesetzt das das Assoziativgesetz in der Vorlesung bewiesen wurde... Also durfte ich das anwenden ohne zu beweisen... Ich hab die Übung auch schon abgegeben... bin gespannt was am Donnerstag rauskommt!

Danke trotzdem!

13.11.2007, 17:24

Bonni

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13.11.2007, 17:38

Abakus

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OK, mit allgemeinem Assoziativgesetz als Voraussetzung liest es sich besser, allerdings bleiben dann noch die Fälle, in denen die Exponenten negativ oder Null sind.

Grüße Abakus smile

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