Kurvendiskuss. + Integral

12.11.2007, 14:28

Stahlhammer

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Kurvendiskuss. + Integral

Servus

Wink

Habe eine Aufgabe bekommen:
Gegeben ist eine Schar $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = \frac{1}{t} -\sqrt{\frac{x}{t^{3}} } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$

a) Diskussion von $\begin{eqnarray*} f_{1}(x) \end{eqnarray*}$ , Zeichnung
Definitionsmenge: Alle positiv reellen Zahlen und 0
Schnittpunkt mit y-Achse: (0/1)
Verhalten im Unendlichen: x gegen + Unendlich -->f(x) gegen minus unendlich
x gegen - unendlich --->f(x) nicht definiert
Nullstellen: x=1

Soweit war ja alles noch ganz einfach

b)Sei $\begin{eqnarray*} P(x/y) \end{eqnarray*}$ ein Punkt aus der Parabel von a) mit $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ . Fällt man von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ die Lote auf die Koordinatenachsen, so wird durch diese Lote und die Koordinatenachsen ein Rechteck mit der Maßzahl $\begin{eqnarray*} A_{1}(x) \end{eqnarray*}$ begrenzt. Bestimme ein absolutes Maximum für $\begin{eqnarray*} A_{1}(x) \end{eqnarray*}$ .
Wie gehe ich vor? Ich muss ja eine Funktion ermitteln, die ich ableiten kann.
Aber ich weiß keinen Ansatz? Hoffe auf Hilfe!

MfG Stahlhammer

12.11.2007, 14:43

klarsoweit

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RE: Kurvendiskuss. + Integral
Wie lautet denn die y-Koordinate des Punktes P(x|y) ?

12.11.2007, 14:46

bene75

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Extremwertaufgaben, bei denen Funktionen eine Rolle spielen, werden folgendermaßen gelöst:

Du mußt die Variablen der Funktion mit den Variablen der Hauptbedingung in Verbindung bringen (klarerweise mit den NBs).
Tipp: Du brauchst 3 NBs, eine davon ist f(x).

Zeichne eine Skizze mit dem Punkt P und versuchs einmal.

12.11.2007, 14:55

Stahlhammer

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@ klarsoweit:
Die Koordinaten sind nicht weiter angegeben!

@bene75:
Etwas schwammig, aber ich werde es mal versuchen smile

smile

12.11.2007, 15:04

bene75

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zu viele tipps darf ich dir hier leider nicht geben, solange du keine eigenen vorschläge hast

12.11.2007, 15:09

Stahlhammer

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Zitat:

Original von bene75
Du mußt die Variablen der Funktion[...]

meinst du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von bene75
[...]mit den Variablen der Hauptbedingung in Verbindung bringen (klarerweise mit den NBs).
Tipp: Du brauchst 3 NBs, eine davon ist f(x).

Bei Haupt- und Nebenbedingung komm ich immer durcheinander:
also eine Bedingung ist ja $\begin{eqnarray*} A = x\cdot y \end{eqnarray*}$
Die Funktion lautet ja: $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 - \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Brauche ich jetzt noch die Bedingung für den Umfang? verwirrt

verwirrt

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12.11.2007, 15:16

bene75

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Die HB ist immer das gesuchte (A=ab).

Nachdem du schon xy nimmst, hast du schon die Variablen der Funktion mit denen der HB in verbindung gebracht (durch die Punktkoordinaten).

Der Umfang hat hier nix verloren, wozu solltest den brauchen?!

Im Grunde bist schon fertig, da f(x)=y=... => A(x)=...

12.11.2007, 15:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Die Funktion lautet ja: $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 - \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Also ist die y-Koordinate $\begin{eqnarray*} y = 1 - \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ . Und damit ist auch meine Frage von oben beantwortet.

Zitat:

Original von Stahlhammer
Brauche ich jetzt noch die Bedingung für den Umfang? verwirrt

verwirrt

Nee, an den Umfang ist keine Bedingung gestellt.

12.11.2007, 15:23

Stahlhammer

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ok, wenn ich jetzt die Hauptbedingung nach y auflöse, bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} y=\frac{A}{x} \end{eqnarray*}$
Das gleichgesetzt mit der Funktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} = 1-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Umgeformt nach A:
$\begin{eqnarray*} A=x\cdot (1-\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt ableiten?

12.11.2007, 15:35

bene75

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Einfacher wärs, wenn du y gleich in die HB einsetzt, aber so gehts auch.

Richtig, jetzt kannst ableiten.

12.11.2007, 15:39

Stahlhammer

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ok $\begin{eqnarray*} A'(x) = 1\cdot (1-\sqrt{x}) + x\cdot (\frac{1}{2}\cdot \sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(x)= \frac{1}{2} x \sqrt{x} - \sqrt{x} + 1 \end{eqnarray*}$

ok, dass muss ich jetzt gleich 0 setzten und gucken, ob ein Extremum vorliegt ne?

12.11.2007, 15:58

Stahlhammer

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oder liegt ein Fehler in der Ableitung vor?

12.11.2007, 18:34

CFusz

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$\begin{eqnarray*} A'(x) = 1\cdot (1-\sqrt{x}) + x\cdot (\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}) \end{eqnarray*}$
ist richtig

12.11.2007, 19:09

Stahlhammer

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War alles falsch bisher, ein Freund nhats mir jetzt erklärt:
$\begin{eqnarray*} A=x\cdot (1-\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$
ist umgeformt:
$\begin{eqnarray*} A=x-x\cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
ist weiterumgeformt:
$\begin{eqnarray*} A=x-x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Das abgeleitet ergibt:
$\begin{eqnarray*} A'(x)=1-\frac{3}{2}\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
gleich Null setzten, dann erhält man :
$\begin{eqnarray*} x=\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$
Aber warum bekommt man dann bei der anderen Ableitung was anderes raus?

12.11.2007, 19:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Stahlhammer
ok $\begin{eqnarray*} A'(x) = 1\cdot (1-\sqrt{x}) + x\cdot (\frac{1}{2}\cdot \sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

Was ist denn die Ableitung von Wurzel(x) ? Und bitte auch nicht Vorzeichen verschlampern.

12.11.2007, 19:49

Stahlhammer

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also die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Und wo soll ein Vorzeichenfehler sein? Helf mir bitte auf die Sprünge, finde ihn nicht verwirrt

verwirrt

13.11.2007, 09:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Umgeformt nach A:
$\begin{eqnarray*} A=x\cdot (1-\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (1-\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$ ?

13.11.2007, 12:59

Stahlhammer

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Zitat:

Original von klarsoweit
Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (1-\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$ ?

Ahh, da steckt der Vorzeichenfehler: Abletung ist dann natürlich $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2 \sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

PS: Haben die Aufgabe heute in der Schule gelöst, darum brauche ich keine weitere Hilfen, aber danke für die bisherigen Hilfestellungen Freude

Freude

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