rekursive Folge

12.11.2007, 16:37

xole_X

Auf diesen Beitrag antworten »

rekursive Folge

hi ich sitze seit längerem vor der aufgabe und weiss net wie ich anfangen soll...

$\begin{eqnarray*} a_1 = 1 , a_{n+1}=\sqrt{1+ \frac{1}{2} a_n^{2}} \end{eqnarray*}$
ich soll zeigen, dass für alle n € aus N folgende Ungleichung gilt...
$\begin{eqnarray*} 1\leq a_n\leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

weiss leider nicht, wie ich an die Aufgabe überhaupt rangehen soll...
dass die ungleichung stimmt, habe ich gemerkt....der bruch in der wurzel kann nie negativ werden wegen dem a², somit kann der ganze term auch net kleiner wie 1 werden. andererseits hab ich auch festgestellt, wenn ich die werte in diese rekursive folge einsetze, dass die folge net größer wie wurzel2 wird.

a_1 1
a_2 sqrt(1,5)
a_3 sqrt(2,125)...
aber wie beweise ich sowas?

wenn ich mich an die Voll. Induk. versuche. kann ich das so machen?:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{2} a_n^{2}} \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+ \frac{1}{2} a_n^{2} \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a_n^{2} \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n^{2} \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

12.11.2007, 19:03

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge
Es gibt verschiedene Ansätze. Der kürzeste ist, die explizite Darstellung der rekursiv definierten Folge zu finden. Die dann noch fehlende Abschätzung ist nicht schwer.

Ein anderer Weg wäre zu zeigen, dass die Folge monoton und beschränkt ist. Dann kannst du einfach den Grenzwert ausrechnen.

12.11.2007, 19:48

xole_X

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge
was ist die explizite darstellung und wie finde ich sie denn?
also ist das, was ich gemacht hab da unten, falsch?

12.11.2007, 20:02

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge

Zitat:

Original von xole_X
wenn ich mich an die Voll. Induk. versuche. kann ich das so machen?:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{2} a_n^{2}} \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+ \frac{1}{2} a_n^{2} \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a_n^{2} \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n^{2} \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du gezeigt, dass aus $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} a_n\leq\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist. Zu einer vollst. Ind. gehört aber ein wenig mehr, also schreib das mal ausführlich auf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2007, 20:03

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge

Zitat:

Original von xole_X
was ist die explizite darstellung und wie finde ich sie denn?

Durch geübtes Auge: Es ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}^2 = 1 + \frac{1}{2}a_n^2 \end{eqnarray*}$ , und folglich

$\begin{eqnarray*} 2-a_{n+1}^2 = \frac{1}{2}(2-a_n^2) \end{eqnarray*}$

Die Substitution $\begin{eqnarray*} b_n := 2-a_n^2 \end{eqnarray*}$ unterliegt also der Rekursion $\begin{eqnarray*} b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n \end{eqnarray*}$ . Für diese Folge ist es nicht schwer, eine explizite Darstellung zu finden... Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2007, 22:05

xole_X

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge
Induktionsanfang
A(1)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{2} 1^{2}} \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sqrt(1,5)< sqrt(2)

Induktionsschritt
A(n+1)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{2} a_n^{2}} \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+ \frac{1}{2} a_n^{2} \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a_n^{2} \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n^{2} \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

ok ich weiss hier nicht genau was ich amchen soll für die voll. induktion...
wir hatten da immer von a_n auf a_n+1 geschlossen. aber hierst ist ja a_n+1 gegeben. Wie mache ich dann den Induktionsanfang?

@arthur dent
wie kommst du denn auf die 2. Zeile?
Ich komm auf sowas ähnliches:
$\begin{eqnarray*} a²_{n+1}= \frac{1}{2} *(2+a²_n) \end{eqnarray*}$
deine zeile entspricht ja meiner, aber wie kommt man darauf, dass ganze so aussehen zu lassen? Auf so eine Idee komm ich doch nie selber drauf. Und dann das ganze noch mit b_n ersetzen....

Anzeige

12.11.2007, 22:42

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge
In einem Induktionsschritt schließt man (üblicherweise) von A(n) auf A(n+1). Du hingegen schließt von A(n+1) auf A(n). Das ist (hier) nicht unproblematisch, solange du nicht mindestens gezeigt hast, dass $\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle n ist.

12.11.2007, 22:49

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von xole_X
Ich komm auf sowas ähnliches:
$\begin{eqnarray*} a²_{n+1}= \frac{1}{2} *(2+a²_n) \end{eqnarray*}$
deine zeile entspricht ja meiner

Irrtum - strukturell fehlt da das entscheidende Etwas. Aber vergiss das alles, und beschreite deinen angefangenen Weg - ich will dich nicht noch weiter verwirren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2007, 23:09

xole_X

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge
bin jetzt fertig mit dem beweis? kann ich das so als lösung stehen lassen und mein mathelehrer wird damit glücklich?

Zitat:

Original von Dual Space
Das ist (hier) nicht unproblematisch, solange du nicht mindestens gezeigt hast, dass $\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle n ist.

Ich glaube aber ich hab das problem, wenn ich sage 1<an

$\begin{eqnarray*} 1\leq \sqrt{1+ \frac{1}{2} a_n^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\leq 1+ \frac{1}{2} a_n^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{2} a_n^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq a_n \end{eqnarray*}$

12.11.2007, 23:11

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge
Das ist nicht dein Ernst, oder? Natürlich folgt aus der Annahme $\begin{eqnarray*} a_n>1 \end{eqnarray*}$ sofort und trivialerweise $\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber woher willst du wissen, dass $\begin{eqnarray*} a_n>1 \end{eqnarray*}$ ?

Also tu dir doch selber den Gefallen und beweise, dass die Folge monoton wächst und beschränkt ist.

12.11.2007, 23:42

xole_X

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge

Zitat:

Original von Dual Space
Das ist nicht dein Ernst, oder? Natürlich folgt aus der Annahme $\begin{eqnarray*} a_n>1 \end{eqnarray*}$ sofort und trivialerweise $\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber woher willst du wissen, dass $\begin{eqnarray*} a_n>1 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von xole_X
hi ich sitze seit längerem vor der aufgabe und weiss net wie ich anfangen soll...

$\begin{eqnarray*} a_1 = 1 , a_{n+1}=\sqrt{1+ \frac{1}{2} a_n^{2}} \end{eqnarray*}$
ich soll zeigen, dass für alle n € aus N folgende Ungleichung gilt...
$\begin{eqnarray*} 1\leq a_n\leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

a_n soll größergleich 1 sein und hier heißt es ja a_n ist größergleich 0, d.h. es kann auch kleiner als 1 sein?

irgendwie stehe ich wohl dem schlauch

13.11.2007, 10:44

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursive Folge
Du verwechselst Beweis und Annahme.

Zitat:

Original von Dual Space
Also tu dir doch selber den Gefallen und beweise, dass die Folge monoton wächst und beschränkt ist.

13.11.2007, 18:32

xole_X

Auf diesen Beitrag antworten »

MONOTONIE: monton steigend:

$\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a²_n\leq 1+ \frac{1}{2} a_n^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a_n^{2}\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a²_n\leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n\leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

fehlt jetzt noch was?

13.11.2007, 18:58

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleich im ersten Schritt quadrierst du eine Ungleichung. Das darfst du aber nur, wenn du weißt, dass beide Seiten das gleiche Vorzeichen haben.

Versuch das lieber via vollständiger Induktion. Den Induktionsschritt beginnst du dann so:

$\begin{eqnarray*} a_n&\leq& a_{n+1}\\ \sqrt{1+\frac{1}{2}a_{n-1}^2} &\leq & \sqrt{1+\frac{1}{2}a_{n}^2} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du quadrieren.

13.11.2007, 19:44

xole_X

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich deine ungleichung weiter auflöse kommt am ende
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ raus. damit wär gezeigt, dass die folge monton steigend ist...dann muss ich noch den grenzwert berechnen oder?

Grenzwert= G

$\begin{eqnarray*} G= \sqrt{1+ \frac{1}{2} G²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G²=1+ \frac{1}{2} G² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} G² = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G² = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

kann ich das so machen?

13.11.2007, 20:43

xole_X

Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfe

13.11.2007, 21:06

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja nun drängle nicht. Den Grenzwert kannst du jetzt noch nicht berechnen. Um dessen Existenz zu garantieren musst du noch die Beschränktheit der Folge zeigen.

Starte dafür so

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{1+\frac{1}{2}a_n^2}\leq \sqrt{1+\frac{1}{2}a_{n+1}^2} \end{eqnarray*}$

also folgt aus der Monotonie schon $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq \sqrt{1+\frac{1}{2}a_{n+1}^2} \end{eqnarray*}$ . Nun noch nach $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ umstellen und du solltest die gesuchte Grenze erhalten.

Falls du dann noch am Grenzwert interessiert bist:

Du weißt nun, dass die Folge gegen einen Grenzwert (nennnen wir ihn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ) konvergiert.

Um diesen zu berechnen machst du folgendes

Gehe auf beiden Seiten der Gleichung

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{1+\frac{1}{2}a_n^2} \end{eqnarray*}$

zur Grenze über. Das liefert $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{1+\frac{1}{2}a^2} \end{eqnarray*}$ .

Umstellen nach a und du hast auch den Grenzwert.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »