lineare Abhängigkeit |
| 12.11.2007, 17:06 | Jocy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| lineare Abhängigkeit ich brüte im Moment wie verrückt über einer Mathe Hausaufgabe, weiß aber überhaupt nicht, wie ich an sie herangehen soll: Sei V ein Vektorraum über eienm Körper K. Zwei Vektoren v,w Elemente aus V heißen LINEAR UNABHÄNGIG, wenn die Gleichung s*v +t *w = 0, s, t, Elemente von K nur die Lösung (s,t) = (0,0) besitzt. Sonst heißen v und w linear abhängig. Zeigen Sie: v und w linear abhängig <=> v=0 oder es existiert ein r Element aus K mit w =r *v Hat da jemand vielleicht einen Tipp für mich, wie ich an diese Aufgabe herangehen kann? Für Anregungen wäre ich sehr dankbar, Jocy |
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| 12.11.2007, 17:27 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Vektoren v,w linear abhängig sind so gibt es für die Gleichung lösungen wo mindestens s oder t ungleich Null sind. Wenn v jetzt 0 ist steht da : was heisst das für s wenn t = 0 ist? |
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| 12.11.2007, 17:33 | Jocy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn Lineare Abhängigkeit vorläge, dann müsste s ungleich null sein, weil ja t bereits null ist. Da aber v und t null sind, ist es doch eigentlich egal, welchen Wert s annimmt, das Ergebniss bleibt ja null. |
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| 12.11.2007, 18:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also sortieren wir das mal: Zunächst mußt du 2 Richtungen zeigen. Nehmen wir als erstes die Richtung "==>": Dann sind also v und w linear abhängig. Wenn nun v=0 ist, wäre die rechte Seite der Behauptung schon erledigt. Also v<>0: Da v und w linear abhängig sind, gibt es s ungleich Null oder t ungleich Null (oder beide ungleich Null) mit s*v + t*w = 0. Jetzt mußt du noch die Fälle t=0 und t ungleich Null unterscheiden. |
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| 12.11.2007, 18:20 | Jocy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn t ungleich null ist, dann kann s theoretisch null sein, muss es aber nicht. Wenn t=0, dann ist s bei Linearität ungleich null, und s*v=0 Aber wie mache ich dann weiter? |
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| 12.11.2007, 18:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst die Gleichung s*v + t*w = 0 nach w auflösen.
Dividiere durch s. |
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| 12.11.2007, 18:34 | Jocy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm, ja wenn s =0 steht da einmal w=0 und einmal v=0. |
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| 12.11.2007, 19:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm. Das ist jetzt etwas unsortiert. Also nochmal: Im Falle t<>0 kannst du s*v + t*w = 0 nach w auflösen. Das solltest du mal tun. Im Falle t=0 haben wir s*v=0. Da s<>0 sein muß, muß also v=0 sein. Und das war ja einer der beiden zu zeigenden Möglichkeiten. |
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| 12.11.2007, 19:52 | Jocy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wenn im ersten fall t<>o, s<>0, dann ist w=s*v/t, bei s=0, wäre w=0, oder? |
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| 13.11.2007, 09:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie hast du denn da aufgelöst? 
Und ob s in diesem Fall Null oder nicht Null ist, ist völlig belanglos. |
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