Was bewirken die verschiedenen Elemente in einer Polynomgleichung? |
| 17.04.2005, 11:29 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Was bewirken die verschiedenen Elemente in einer Polynomgleichung? Eine Fragbe bzgl. Polynomgleichungen 3. und 4. Grades Ich würde gerne wissen, welche Auswirkungen die einzelnen Elemente auf den Verlauf und die Eigenschaften der Funktion haben. Ich habe mir einfach mal 2 rausgesucht, an denen ich das später erklären muss. _______ Klar ist mir schonmal, das bei n = die max. Anzahl der Nullstellen ist und das das letzte Element in meinem Falle z.B. 2,4 oder 0 den Schnittpunkt mit der Y-Achse definiert. Was ist aber mit den anderen Elementen? Liebe Grüße mercany |
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| 17.04.2005, 11:38 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich glaub die Frage was die einzelnen Faktoren bewirken lässt sich so pauschal nicht beantworten. Sagen kann man, dass das Verhalten der Funktion im wesentlichen von der höchsten Potenz und damit natürlich auch von dem Vorfaktor davor bestimmt wird. Was die anderen Faktoren angeht haben die natürlich auch einen gewissen Einfluss auf die Funktion, dieser ist aber auf Bereiche nahe der Null beschränkt wie man leicht anhand eines Beispiels demonstrieren kann. x-Bereich klein x-Bereich gross und im Vergleich zur eigentlichen Funktion auch noch die Funktion Ich denke mal das zeigt deutlich wie unwichtig die Faktoren bei niedrigeren Potenzen für grosse x werden. |
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| 17.04.2005, 11:59 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okey! Aber allgemein muss man doch zu den Einzelnen etwas sagen können? Ausserdem sagtest du, dass der Koefzienten vor dem x mit der höchsten Potenz die größte Veränderung bestimmt. In wiefern ? Ausserdem müssen die doch irgendeine Eigenschaft bewirken. Wenn ich Funktionen 4. oder höheren Grades haben, dann verlaufen die doch alle unterschiedlich, und das hängt doch nicht zum größten Teil von dem Koefzienten vor dem x mit der höchsten Potenz ab - oder?!? Gruss und schonmal Danke EDIT Die genaue Aufgabe lautet: Versuchen Sie herauszufinden, welche Wirkung welcher Bestandteil in der Funktionsgleichung erzielt. Können Sie typische Charakteristika für Funktionen 3. bzw. 4. Grades herausstellen? |
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| 17.04.2005, 12:31 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Typische Charakteristika von Funktionen 3. oder 4. Grades sind zb das Verhalten gegen Unendlich. die Anzahl der vorhandenen Nullstellen (hier haben die Koeffizienten natürlich schon einen Einfluss der aber schwer in allgemeine Aussagen zu fassen ist). |
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| 17.04.2005, 12:41 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was meinst du damit genau? _________ Ja, aber irgendetwas muss ich doch zu der Aufgabe sagen können! 
Dann eben Allgemein und bezogen auf x-Bereich klein. Gibst denn da garnichts ??? |
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| 17.04.2005, 12:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
also mal ein paar aussagen: f(x)=ax^4+...... grenzverhalten für x gegen + oder - unendlich: sie geht beide male gegen +unendlich, wenn a>0, und beide male gegen -unendlich, wenn a<0 f(x)=ax³+..... geht in einem dr grenzfälle immer gegen + unendlich im anderen fall gegegn -unendlich. auch das hängt natürlich (wie? da bist du dran) von a ab...... deswegen haben polynomfkt. vom grad "ungerade" auch immer mindestens eine NST nach zwischenwertsatz! f(x)=ax^n+.....+bx^m+.......+c m<n für x gegen unendlich wird der teil mit dem bx^m unbedeutend, weil x^n vielviel "größer" ist. da kann auch ein betragsmäßig sehr großes b nichts ausrichten, oderein betragsmäßig kleines a, denn a b sind ja trotzdem FEST! für betragsmäßig kleine x (|x|<1) hingegen wird gerade der teil mit der größten potenz unwichtiger, dann schlägt die stunde der "kleinen" potenzen. für x gegen 0 gilt: je kleiner die potenz desto wichtiger. im falle x=0 ist ja auch nur noch der teil +c mit x^0 wichtig, f(0)=c (!) mfg jochen ps: für |x| nur etwas kleiner 1, bzw. für x sehr groß, aber eben nicht x gegen unendlich (z.b. x=10^60), sind natürlich die koeffizienten (a,b,...) noch wichtig!, setze mal für a=10^(-200) und für b 1 ein, dann wird "bx^m" erst für sehr große x unwichtig, aber diese x kommen) |
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| 17.04.2005, 13:12 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das war jetzt etwas zu hoch für mich 
Es folgen einige Fragen, da in deiner Erklärung doch einiges vorkam, was mir nicht bekannt oder klar ist. Also:
Was meinst du mit + oder - unendlich? Was ist das Grenzverhalten für x bzw. was der Grenzfall?
+ unendlich a>0 | - unendlich a< 0 <-- so ??? wenn ja, warum 
Was bedeutet Zwischenwertsatz und was ist damit gemeint? Besagt der irgendetwas?
Warum für x<1 und -x<1 ? --------------------------------------------- Tut mir leid, wenn das jetzt echt einige Fragen waren. Nur mir ist wichtig, dass ich auch weiß warum das so ist und was es bedeutet! Schonmal vielen vielen Dank Jan |
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| 17.04.2005, 13:46 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
du weißt nicht, was es bedeutet einen grenzwert für x gegen unendlich u betrachten? f(x)=1/x hat zum beispiel den grenzwert 0 also y=0 als waagrechte asymptote. wowohl für x gegen +unendlich, also auch für x gegen -unendlich. was verstehst du an +unendlich (-unendlich) nicht?
nein, f(x)=ax³+..... a>0: dann geht die funktion für x gegen - unendlich selbst gegen -unendlich, für x gegen + unendlich geht sie gegen + unendlich. bei a<0 ist das genau andersherum, mach dir mal ein wertetabelle für die funktion f(x)=-x³ für große x. vergiss den zwischenwertsatz: merke dir einfach f(x)=x^n+... mit ungeradem n (x³ oder x^5 oder x^7.... als höchste potenz) hat mindestens einen nulldurchgang. zu |x|<1... ich red jetzt mal nur von positiven x, also haben wir jetzt 0<x<1. dann wird der wert von "ax^n" bei festem a kleiner (betragsmäßig) je näher x an 0 rangeht...... denn z.b. (1/2)^10=1/1024 |
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| 17.04.2005, 14:02 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein weiß ich nicht!
Asymptoten hatten wir noch nicht! Ich habe diesbezüglich schonmal hier im Forum nachgefragt, da ich mich damit beschäftigen wollte, bin aus den Links aber bis jetzt noch nicht richtig schlau geworden. Kann man den Grenzwert nicht allgemein erläutern?
was meinst du mit "+" und "-" ? Vielleicht wäre es klar wenn ich wüste was du mit unendlich meinst, tue ich aber nicht! EDIT Oder meinst du mit + oder - einfach nur positiv oder negativ? Wenn ja, weiß ich aber immer noch nicht was du mit "gegen positv unendlich" und mit "gegen negativ unendlich" meinst. |
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| 17.04.2005, 14:08 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
unendlich, ohne Ende der begriff als nicht mathematischer begriff solle dir aber geläufig sein, unendliches leben etc. du kannst ja x beliebig groß werden lassen, denn es darf aus ganz IR gewählt werden. es gegen +unendlich laufen zu lassen bedeutet dabei es immer, immer größer werden zu lassen, ohne aufzuhören. f(x)=1/x z.b. nähert sich bekanntlich immer mehr 0 an, je größer x wird. x=1000 f(x)=1/1000=0,001 x=1000000 f(x)=0,000001 usf. wenn du hier x gegen unendlich (d.h. beliebig groß werden lässt), dann hast du im granzfall (also der natürlich nicht mögliche fall, x wäre tatsächlich unendlich groß) y=0..... dieser wert wird wie gesagt aber nicht erreicht, aber beliebig nahe angenähert, deswegen ist y=0 eine asymptote. aber das nur so nebenbei. -unendlich ist dann das entsprechende in die andere richtung, du lässt x immer kleiner werden. x=-1000, x=-1000000 und immer immer weiter richtugn -unendlich. ist der begriff unendlich denn jetzt klar? edit: +/- heißt positiv/negativ klar..... |
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| 17.04.2005, 14:41 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, der Begriff "undendlich" ist jetzt endlich klar!
3 Fragen habe ich aber noch: 1) Wenn für |x| < 1 die größte Potenz am unwichtigsten wird, dann müste doch für > 1 die größte Potenz am wichtigsten werden, oder? Oder ist |x| > 1 sofort x gegen +unendlich -unendlich - eigentlich doch nicht?! 2) Für x gegen 0 gilt: Je kleiner die Potenz desto wichtiger ist sie. Warum ist das so ? 3)
Sprich, sie hat mindestens "eine" Nullstelle ? Wenn f(x) 0 x^n+... mit geradem n dann müsste die Anzahl der Nullstellen ja von 0 bis Anzahl von n reichen... ? Gruss Jan |
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| 17.04.2005, 14:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja richtig, aber wie du schnell an obigem beispiel (a war da 10^-200) erkennen kannst, sind für entsprechende koeffizienten bei endlichen festen x, auch evtl. noch die anderen kleineren potenzen wichtig...... aber je größer x, desto unwichtger werden die kleineren potenzen. für das grenzverhalten gegen unendlich musst du dann wirklich nur noch die größten betrachten. zu 2) hab ich doh schon gesagt, der rest geht gegen 0, je höher die potenz, desto schneller geht das gegen 0. im grenzfall x=0 ist alles, was x^n (n<>0) hat, sogar gleich 0! richtig, das hat dann eine nullstelle, bei gerader höchster potenz kann es 0 bis n haben, dass ist auch richtig. wenn es aber eine ungerade anzahl an verschiedenen nullstelen hat dann, dann muss eine NST doppelt sein! BSP: f(x)=x² hat nur x=0 als NST, diese ist doppelt.... mfg jochen |
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| 17.04.2005, 15:30 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zu 2) Was meinst du mit "rest gegen Null" ? Was für nen Rest??? Und dann noch zu |x| < 1 wird n = gr. Potenz unwichtig. Bedeutet das, das nur in diesem Raum die gr. Potenzen unwichtig werden. Also für alle x > 1 und x > -1 werden die gr. Potenzen wieder wichtiger, wobei gilt: desto größer desto wichtiger ?! Bezieht sich das nur auf die größte Potenz oder kann man das als so eine Art Hirarchie sehen. Also wenn f(x) = ax^n...+bx^m...+cx^t....+d dann ist bei größer werdenden x n,m,t wichtiger, wobei n noch wichtiger als m ist und m wichtiger als t So? Oder wird nur n wichtig und m und t werden immer unwichtiger? |
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| 17.04.2005, 22:35 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
der "rest geht gegen 0" soll heißen, das alle teilterme mit ax^b (mit b<>0) gegen 0 gehen, wenn x gegen 0 geht. der konstante teil c(*x^0) wird deswegen immer stärker ausschlaggebend, je näher x an 0. bei x=0 ist doch der funktionswert auch gerade dieses c. für x gegen unendlich ist nur der größtpotenzige term wichtig. für x gegen 0 ist eben nur noch der konstante teil (der kleinstpotenzige teil) wichtig je größer x betragsmäßig wird, desto unwichtiger werden die kleinen potenzen, je mehr er gegen 0 geht, desto größer werden die größeren potenzen. dabei sind natürlich die koeffizienten noch dafür entscheidend, wie schnell denn dieses unwichtig werden auftritt. f(x)=x²+10000000000 für betragsmäßig kleine x scheint der konstante (und große!) teil sehr wichtig zu sein, aber berechne doch mal ein paar funktionswerte für sehr große x, z.b. für x=1000000000000. plötzlich wird der konstante teil völlig unwichtig! AUFGABE: berechne doch mal einige funktionswerte einiger polynomfunktionen |
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| 19.04.2005, 20:32 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie meinst denn das jetzt
Sorry, ich glaube ich bin etwas schwer von Begriff
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| 19.04.2005, 20:42 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
das soll andeuten experimentiere mal selbst ein wenig. nehme dir polynome her und berechne funktionswerte. f(x)=2x²-3000x+8 z.b. setze hier mal ein paar werte ein und rechne aus.... du wirst sehen: in den "normalen bereichen" (x=5 z.b.) wird der teil mit dem großen koeffizienten ausschlaggebend sein, in "höheren regionen" (x>2000 oder so) wird der immer unwichtiger, hier wird dann 2x² wichtig, und gegen 0 wird das 8 immer wichtiger, allerdings auch erst recht "spät" (d.h. nah an 0), da der großkoeffizientige term dagegen ankämpft. aber setz doch z.b. mal x=10^-5 ein, da ist der funktionswert fast 8. mfg jochen ps: vergleiche f(x) mal im bereich um 0, im normalen bereich (5 bis 50) und im "betragsgroßen" bereich (x>2000 oder so) mit folgenden funktionen: g(x)=8 h(x)=-3000x i(x)=2x² dir wird hoffentlich erstaunliches auffallen |
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| 19.04.2005, 21:34 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Erstma einenl schönen guten Abend Jochen! Ich hoffe du bist nicht schon allzu genervt von mir...
Das erste Verblüfen habe ich jetzt schonmal hinter mir. Dass das so krass ist hätte ich echt nicht gedacht... Ich werde morgen früh mal versuchen, dass Ganze etwas genauer zu interpretieren und dir mein Ergebniss anschliessend dann hier präsentieren. Liebe Grüße Jan |
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| 19.04.2005, 21:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
nabend jan! ich hoffe, das mit dem verblüfft sein, war keine ironie sonst 
ich fasse hier noch mal zusammen: -je größer x (betragsmäßig) desto unwichtiger werden alle terme ohne die höchste potenz -als grenzwert ( x gegen +/- unendlich) zählt nur noch der teil mit der größten potenz -analog für x gegen 0, hier werden die großpotenzigen terme immer unwichtiger (denn x^5 strebt viel schneller gegen 0 als x^2 für x gegen 0!) -im grenzfall x=0 (erreichbar) zählt nur noch der konstante faktor (x^0, niedrigste potenz) -evtl koeffizienten können nur beeinflussen wie schnell/langsam die einzelnen terme unwichtuig werden |
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| 19.04.2005, 22:06 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Quatsch! Das war mein vollkommender Ernst.
große Koeffizienten = Schnell oder Langsam ? --> Ich würde sagen, ziemlich große Koeffizienten beeinflussen es schneller! ??? |
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| 19.04.2005, 22:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
kommt drauf an, vor welchen potenzen sie stehen und ob du gegen 0 oder gegen unendlich laufen lässt. allgemein z.b.: f(x)=ax²+b (a<>0 natürlich) für x gegen unendlich wird das +b völlig unbedeutend (eingesehen) aber dieser prozess kann je nach den koeffizienten "beschleunigt/verlangsamt" werden setze a=1/10000000 und b=-10000000, dann wird der hintere konstante teil wirklich nur für sehr große x (also sehr "spät") unbedeutend z.b. f(2000) ist immer noch <0 (!!), obwohl das gegen unendlich strebt...... setze nun a=1 und b=1 und schon ist für z.b. x=50 der unterschied zwischen f(x)=x²+1, f(2000)=4000001 und y=x² (ohne den konstanten teil), y(2000)=4000000 kaum noch wichtig! mfg jochen |
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| 19.04.2005, 22:30 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke Jochen! Das war doch jetzt wirklich verdammt aufschlussreich für mich (wirklich ernst gemein!) Da habe ich mal mehr an den zwei Tagen von dir gelernt, als mein Lehrer mir wohl in den nächsten Wochen beibringen wird. (ist leider wirklich so) Schönen Abend dir noch Jan |
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| 19.04.2005, 22:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
okay, dann denkst du einfach immer wenn so etwas dran kommt ein wenig an mich!
ich freue mich sehr, dass es dir etwas genützt hat, denn dann weiß ich, dass ich dies nicht umsonst mache! dann kann ich mich ja auch bald mal auf die suche nach einem kuscheligen schlafplatz für mich machen! 
man sieht sich im board! |
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| 22.04.2005, 19:15 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Guten Abend! Ja genau, ich nochmal....
Mir ist da noch so eine Frage eingefallen. Und zwar: In wiefern kann ich aus einer gegebenen Funktion ablesen bzw. erkennen, ob Symetrie vorliegt oder nicht und wenn ja, ob es sich um Punkt- oder Achsensymetrie handelt ?! Gruss Jan |
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| 22.04.2005, 19:30 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Am leichtesten lässt sich die Frage nach Punktsymetrie zum Ursprung und Achsensymetrie zur y-Achse klären. Allgemein gilt fürs eine f(-x)=-f(x) und fürs andere eben f(-x)=f(x). Das kann man bei Polynomen auch an den Exponenten festmachen. Hat man nur ungerade liegt die Punktsymetrie bzgl dem Ursprung vor nur Gerade dann ist es Achsensymetrie. |
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| 22.04.2005, 19:57 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist mir noch nicht bekannt.... Könntest du es bitte etwas genauer erklären. Und: Es kann doch auch sein, dass mal garkeine Symetrie vorliegt, wie finde ich das denn raus?!? Gruss |
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| 23.04.2005, 00:35 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wenn der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dann gilt das für alle x (hinreichende und notwendige bedingung) f(-x)=-f(x) <--- das lässt sich an einem Beispiel ganz gut zeigen: zB f(-5) = -f(x), das heisst der y wert bei x=-5 ist genauso groß wie das negative von dem y wert bei x = 5, das entspricht eben einer punktspiegelung um (0|0) gar keine der eben genannten symmetrien liegt vor, wenn weder f(-x)=-f(x) noch f(-x)=f(x) gilt, dabei muss man aber aufpassen, da graphen auch zu anderen punkten punkt- oder zu parallelen der Ordinate achsensymmetrisch sein können |
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| 23.04.2005, 07:02 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also ich bin jetzt nicht sicher ob es eine einfache alles beschreibende Symmetrie Operation gibt aber man kann sich ja mal ein bisschen was überlegen. Die möglichen Symmetrien: Punktsymmetrisch bzgl einem Punkt P oder Achsensymmetrisch bzgl einer Achse parallel zur y-Achse haben ja gewisse Folgen für die Funktion und können daher auch nur unter bestimmten Bedingungen vorliegen. Da fällt mir jetzt mal auf Anhieb ein, dass bei einer Funktion n-Grades die Funktion für n ungerade höchstens punktsymmetrisch und bei n gerade höchstens Achsensymmetrisch sein kann auf Grund des Verhaltens gegen unendlich. Bei der Suche nach einer Achse für die Achsensymmetrie kann man sich dann zu Nutzen machen, dass die Spiegelung Nullpunkte wieder auf Nullpunkte abbildet. Das heisst ich muss die Achse so wählen das sie exakt in der Mitte zwischen meinen Nullstellen ist. Alternativ könnte ich hierfür auch die Hoch und die Tiefpunkte wählen wenn ich keine Nullstellen finden kann. Bei Punktsymmetrie würde ich mir vorstellen, dass die Spiegelung Hoch auf Tiefpunkte und umgekehrt abbildet. Das heisst ich würde nach einem Punkt suchen unter dem die zentralen Hoch und Tiefpunkte durch Spiegelung auf einander abgebildet werden. |
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| 23.04.2005, 11:36 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
f(-x)=-f(x) gilt also für Punktsymmetrie und f(-x)=f(x) für Achsensymmetrie Allerdings habe ich das mit dem Beispiel jetzt noch nicht so ganz recht verstanden. --------------------------------
Nur wie kann ich diese Informationen der Funktion entnehmen? |
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| 23.04.2005, 13:52 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wenn eine funktion nur potenzen von x hat, die gerade sind, also x^0, x^2,x^4... dann ist der graph achsensymm zur Ordinate, wenn die funktion nur ungerade potenzen hat, also x^1,x^3,x^5...dann ist der graph punktsymm zu (0|0) für punktsymmetrie bezügl einem Punkt P(x0|y0) muss folgendes gelten: f(x0-h)-y0 = y0-f(x0+h) => y0=0,5 * (f(x0-h)+f(x0+h)) für achsensymmetrie bezügl der geraden x=x0 gilt: f(x0-h)=f(x0+h) erkennen kann man das eigentlich nur am graphen der funktion, dann kannst du den punkt/die gerade ablesen und den nachweis erbringen |
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