Summe konvergente und divergente Folge

12.11.2007, 20:36

Lord SZ

Summe konvergente und divergente Folge

Hallo, ich bins schon wieder...

Beweisen oder widerlegen Sie (durch Angabe eines Gegenbeispiels) folgende Aussagen:

Ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ divergent, dann ist $\begin{eqnarray*} (a_n + b_n) \end{eqnarray*}$ divergent.

Also nach Gefühl würde ich sagen, dass das stimmt, aber ich habe keine Ahnung wie ich da einen Beweis starte... hat jemand einen Tipp?

12.11.2007, 20:41

tmo

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Folgt eigentlich direkt aus den Grenzwertsätzen.

Denn ist $\begin{eqnarray*} (a_n + b_n) \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergent, so ist $\begin{eqnarray*} b_n = (a_n + b_n) - a_n \end{eqnarray*}$ auch konvergent.

12.11.2007, 20:41

20_Cent

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Nehme an, dass es konvergiert und zeige einen Widerspruch.
Dass die Differenz zweier konvergenter Folgen konvergiert, sollte bekannt sein.
mfG 20

12.11.2007, 20:53

Lord SZ

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Zitat:

Original von tmo
Folgt eigentlich direkt aus den Grenzwertsätzen.

Denn ist $\begin{eqnarray*} (a_n + b_n) \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergent, so ist $\begin{eqnarray*} b_n = (a_n + b_n) - a_n \end{eqnarray*}$ auch konvergent.

Aber $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ist doch divergent.

Ich weiß nicht wie man das aufschreibt...

$\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

wie nehm ich denn an, dass $\begin{eqnarray*} a_n + b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert?

12.11.2007, 21:11

20_Cent

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Das nennt man Widerspruchsbeweis, du nimmst das Gegenteil von dem an, was du zeigen sollst. Jetzt bekommst du einen Widerspruch, also war deine Annahme falsch, somit deine Behauptung richtig.
Was tmo mit "Denn ist a_n+b_n konvergent..." meinte, ist im Prinzip nichts anderes.
mfG 20

12.11.2007, 21:27

Lord SZ

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Ach so wird das gemacht.

Ist $\begin{eqnarray*} b_n = (a_n + b_n) - a_n \end{eqnarray*}$ konvergent, weil das aus den Grenzwertsätzen folgt? Also weil wir angenommen haben das $\begin{eqnarray*} a_n + b_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist, und die Summe (hier die negative Summe) mit einer anderen konvergenten Folge, auch wieder konvergent sein muss? Da liegt ja dann der Widerspruch, weil wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ divergent ist. Also muss $\begin{eqnarray*} a_n + b_n \end{eqnarray*}$ divergent sein.

Ich hoffe ich habs nun richtig verstanden.

Sorry, dass ich mich so blöd anstell, aber ich hab mit der Analysis noch so meine Differenzen. :/

12.11.2007, 22:43

20_Cent

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Klingt gut Augenzwinkern

mfG 20

13.11.2007, 00:04

Lord SZ

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Juhu, danke für die Hilfe.

Sind es es nur noch fünf Aufgaben vom Übungsblatt, die ich nicht hinkrieg... wenn ich das alles hier posten würde, müsste man mich wegen spamming verbannen. Big Laugh

13.11.2007, 10:18

Bonni

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RE: Summe konvergente und divergente Folge
Kann das sein das du auch in Dortmund studierst?? Kommt mir iegendwie bekannt vor die Aufgabe 16 b) von Herrn Ste....... Big Laugh

13.11.2007, 21:22

Lord SZ

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Absolut korrekt smile

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Summe konvergente und divergente Folge

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