Kinder und Bonbons :) Kombinatorik

12.11.2007, 23:18

poochy

Kinder und Bonbons :) Kombinatorik

Schönen guten Abend.
Mal ne Bitte, für einen Ansatz.

Fragestellung:

Seien k,n element N mit k >= n. Wie viele Möglichkeiten gibt es k identisch aussehende Bonbons auf n Kinder zu verteilen, wenn jedes Kind mindestens ein Bonbon bekommen soll? (Hinweis: Betrachten Sie zunächst die Variante dieser Aufgabe, bei der es auch zugelassen ist, dass Kinder leer ausgehen.)

Gehe ich recht der annahme, dass wenn man erstmal den Hinweis nimmt, es sich dabei um $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ handelt? Und bei der anderen aufgabe, halt noch *irgendwie* noch es so hinbiegen muss, dass halt die Kinners, mind. 1 bekommen?

Wenn diese Annahme richtig ist, wie löse ich das *irgendwie* am geschicktesten?

Dankschön schonmal Big Laugh

12.11.2007, 23:44

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Zitat:

Original von poochy
Gehe ich recht der annahme, dass wenn man erstmal den Hinweis nimmt, es sich dabei um $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ handelt?

Knapp daneben, aber dennoch vorbei: Es geht nicht um Kombinationen ohne, sondern mit Wiederholung.

13.11.2007, 13:34

poochy

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oh..

also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n-1 \\ k \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Und wie ergänzt man es, dass die Kinders, mind 1 bonbon bekommen sollen?

13.11.2007, 15:28

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Indem jedes Kind von vornherein ein Bonbon bekommt, verteilst du anschließend statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} k-n \end{eqnarray*}$ Bonbons und berechnest diese Anzahl (mit der bisherigen Formel).

13.11.2007, 15:36

poochy

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also im endeffekt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n-1 \\ k-n \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

13.11.2007, 16:03

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Nein, du musst beide $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ersetzen:

$\begin{eqnarray*} \binom{n+(k-n)-1}{k-n} = \binom{k-1}{k-n} \end{eqnarray*}$

Gemäß der bekannten Symmetrie kann man das bei Bedarf auch noch anders schreiben:

$\begin{eqnarray*} \binom{k-1}{k-n} = \binom{k-1}{(k-1)-(k-n)} = \binom{k-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ .

13.11.2007, 16:17

poochy

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Danke

hab dich liep smile

passt super smile

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