Ganze Funktionen mit Imaginäteil =0 auf reeller Achse

13.11.2007, 14:44

20_Cent

Ganze Funktionen mit Imaginäteil =0 auf reeller Achse

Hallo,

ich suche alle ganzen Funktionen, deren Imaginäteil auf der reellen Achse verschwindet.
Bisher habe ich keine Idee, wie das zu bewerkstelligen ist.
Zum Beispiel erfüllen e^z, cos(z) und sin(z) die Bedingung, sie sind ganz und im reellen reell.

mfG 20

13.11.2007, 16:01

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ganze Funktionen mit Imaginäteil =0 auf reeller Achse
Was verstehst du denn unter einer "ganzen" Funktion?

13.11.2007, 18:37

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganze Funktionen sind Funktionen, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorph sind. Eine solche besitzt eine überall konvergente Potenzreihenentwicklung um 0:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{\nu = 0}^{\infty} a_{\nu} z^{\nu} \, , \ \ z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Jetzt beachte:

$\begin{eqnarray*} a_{\nu} = \frac{f^{(\nu)}(0)}{\nu!} \, , \ \ \nu \geq 0 \end{eqnarray*}$

Wenn aber $\begin{eqnarray*} f|_{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ reellwertig ist, was heißt das dann für die $\begin{eqnarray*} a_{\nu} \end{eqnarray*}$ ?

13.11.2007, 20:34

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... Also die $\begin{eqnarray*} a_{\nu} \end{eqnarray*}$ müssen reell sein.
D.h. alle Ableitungen von f an der Stelle 0 müssen reell sein.
Ich hab leider trotzdem keine Idee, wie ich die $\begin{eqnarray*} a_{\nu} \end{eqnarray*}$ jetzt bestimmen kann.
Schonmal danke, auf die Potenzreihe bin ich gar nicht gekommen...
mfG 20

edit: Der Imaginärteil von f hat in 0 eine Nullstelle unendlicher Ordnung, bringt das etwas?

14.11.2007, 17:30

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat noch jemand eine Idee?
Die Abgabe war zwar schon, aber mich interessiert die Aufgabe Augenzwinkern

14.11.2007, 18:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, das war es auch schon: Alle $\begin{eqnarray*} a_{\nu} \end{eqnarray*}$ sind reell. Ansonsten dürfen die $\begin{eqnarray*} a_{\nu} \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt werden, solange

$\begin{eqnarray*} \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\left| a_{\nu} \right|} = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Mir ist nicht klar, nach welcher Charakterisierung du ansonsten suchst.

14.11.2007, 18:21

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe (Das DIRICHLET-Problem für die obere Halbebene)

Bestimmen Sie alle harmonische Funktion auf der oberen Halbebene, die auf der reellen Achse
konstant verschwinden.

Hinweis: Setzen Sie die Lösungen in geeigneter Weise als harmonische Funktionen auf die ganze Ebene fort. Zeigen Sie: Diese Funktionen sind global Imaginärteile holomorpher Funktionen. Bestimmen Sie alle ganzen holomorphen Funktionen, deren Imaginärteil auf der reellen Achse identisch verschwindet.

Ich habe mir nun gedacht, dass ich als Fortsetzung der harmonischen Funktionen einfach die Spiegelung um die y-Achse nehme, dann ist die Funktion auf der ganzen Ebene harmonisch.
Imaginärteile holomorpher Funktionen sind sie, da ganz C ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist.
Jetzt brauch ich eben alle ganzen Funktionen deren Imaginärteil auf der reellen Achse verschwindet, und muss eben diesen ausrechnen.
Gibts ne gute Möglichkeit, die Potenzreihe in Real und Imaginärteil aufzuspalten?

Oder ist sonst schon etwas an der Überlegung nicht richtig?

Danke für deine Hilfe.

mfg 20

Neue Frage »

Antworten »

Ganze Funktionen mit Imaginäteil =0 auf reeller Achse

Verwandte Themen