Isomorphiesätze für Ringe

17.04.2005, 13:55	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphiesätze für Ringe Hi Jungs, wieder einmal brauche ich Hilfe. Folgendes Problem: Beweisen Sie, dass für einen kommutativen Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ mit 1 und Ideale $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} I + J / J \cong I / (I \cap J) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (R/I)/(I/J) \cong R/J \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} J \subseteq I \end{eqnarray}$ Was soll ich damit nun machen? Ich steh da wie der Ochs vorm Berg... Ich wäre für jede Hilfe mehr als dankbar. MfG Matze
17.04.2005, 23:18	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Eine Anleitung für die zweite Aufgabe: Zeige nacheinander: (i) Die kanonische Abbildung $\begin{eqnarray} I\hookrightarrow R\rightarrow R/J \end{eqnarray}$ besitzt J als Kern und induziert eine Injektion $\begin{eqnarray} I/J\hookrightarrow R/J \end{eqnarray}$ , wobei man $\begin{eqnarray} I/J \end{eqnarray}$ zunächst als Menge der Restklassen $\begin{eqnarray} i+J \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i\in I \end{eqnarray}$ erkläre. Weiter lässt sich $\begin{eqnarray} I/J \end{eqnarray}$ mit seinem Bild in $\begin{eqnarray} R/J \end{eqnarray}$ identifzieren und als Ideal in $\begin{eqnarray} R/J \end{eqnarray}$ auffassen. (ii) Die Projektion $\begin{eqnarray} R\rightarrow R/I \end{eqnarray}$ faktorisiert über $\begin{eqnarray} R/J \end{eqnarray}$ , d.h. lässt sich als Komposition $\begin{eqnarray} R\overset{\pi}{\rightarrow} R/J\overset{f}{\rightarrow} R/I \end{eqnarray}$ schreiben, mit einem Ringhomomorphismus f und der kanonischen Projektion $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . (iii) f besitzt $\begin{eqnarray} I/J \end{eqnarray}$ als Kern und induziert einen Isomorphismus $\begin{eqnarray} (R/J)/(I/J)\overset{\sim}{\rightarrow}R/I \end{eqnarray}$ . Damit solltest du das schaffen.
18.04.2005, 14:35	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
wow, das hört sich ja mal ganz gut an, aber ich fürchte ich verstehe des nicht wirklich Kannst du das bitte nochmal nen Gang langsamer erklären? Die Ferien sind doch gerade erst vorbei und mein Hirn läuft leider noch auf Sparflamme g MfG Matze
18.04.2005, 15:13	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eigentlich ist der Beweis der zweiten Aussage mit dieser Anleitung wirklich nicht mehr sonderlich schwierig. Das sind ja jeweils relativ kleine Teilschritte, die dir eigentlich keine Probleme bereiten sollten. Fange doch einfach mal bei (i) an. Ist dir klar, wie du das, was dort behauptet wird, begründen kannst?
18.04.2005, 15:20	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, echt traurig (ich glaub ich studier das falsche), aber ich weiß nicht, wie ich das Begründen kann. Ich weiß nicht mal wirklich, was eine kanonische Abbildung ist. ogm... besteht für mich noch Hoffnung? MfG Matze
18.04.2005, 15:56	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich fragen, aus welcher Vorlesung diese Aufgaben stammen? Dass dir das mit der kanonischen Abbildung nicht klar ist, erstaunt mich nämlich doch etwas. Was für eine Abbildung $\begin{eqnarray} R\rightarrow R/J \end{eqnarray}$ betrachtet man denn normalerweise immer, welche ist also die "natürliche", die kanonische Abbildung?
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18.04.2005, 17:32	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist aus Lineare Algebra und analytische Geometrie. Das Wort kanonische Abbildung ist mir so nicht geläufig, aber wenn du mit natürlicher Abbildung von R nach R/I die Abbildung meinst: $\begin{eqnarray} R \rightarrow R/I : r + I \rightarrow r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r + I \in R/I, r \in R \end{eqnarray}$ dann weiß ich wenigstens mal etwas g MfG Matze
18.04.2005, 18:45	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das meinte ich (du hast da etwas vertauscht, aber du meinst bestimmt das Richtige). Und $\begin{eqnarray} I\hookrightarrow R \end{eqnarray}$ bezeichnet einfach die Inklusion, also $\begin{eqnarray} x\mapsto x \end{eqnarray}$ . Nachdem das geklärt ist, kannst du ja jetzt nochmal über (i) nachdenken.

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