vollst. Induktion

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13.11.2007, 15:15

poochy

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vollst. Induktion

Mohoin! Und nocheinmal brauche ich eure Hilfe smile

.

Meine erste Aufgabe mit "n über k" und vollständiger Induktion... also habt nachsicht smile

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n >=2 gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^n~\begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

I n=2
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^2~ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

II A(n+1)
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^{n+1}~\begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^{n+1}~\begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} = \sum_{i=2}^{n}~\begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n+1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus würde sich für mich folgern:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{(n+1)!}{3!(n-3)!} + \frac{(n+1)!}{2!(n-2)!} \end{eqnarray*}$

Ist dies soweit richtig oder hab ich mich da verwurschtelt?
Und wenn es OK ist, wie stellt man sowas um? - Also irgenwie muss ich ja auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommen. Richtig?

13.11.2007, 15:17

Dual Space

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RE: vollst. Induktion

Zitat:

Original von poochy
I n=1
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^2~ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

Ist dein Induktionasanfang nun n=1 oder n=2?

Edit: Sicherlich n=2 - wahscheinlich nur ein Tippfehler.

Edit2: Bei der Aufgabe beginnt die Summation bei i=1. Später dann bei i=2. Was ist nun richtig?

13.11.2007, 15:27

poochy

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i'm sorry
n>=2

also alle i's fangen bei 2 an

edit: um missverständnissen aus dem weg zu gehen, hab ich es jetzt mal geedited.

13.11.2007, 15:38

klarsoweit

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RE: vollst. Induktion

Zitat:

Original von poochy
Daraus würde sich für mich folgern:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{(n+1)!}{3!(n-3)!} + \frac{(n+1)!}{2!(n-2)!} \end{eqnarray*}$

Da stimmt was nicht. Schau nochmal genau auf die Definition des Binomialkoeffizienten.

13.11.2007, 15:40

poochy

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HA!

moment

edit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{(n+1)!}{3![(n+1)-3]!} + \frac{(n+1)!}{2![(n+1)-2]!} \end{eqnarray*}$

13.11.2007, 15:54

klarsoweit

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Das sieht schon besser aus. Jetzt die Brüche gleichnamig machen und addieren.

EDIT: Es sein denn, du darfst die Regel

$\begin{eqnarray*} \binom n k + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray*}$

verwenden. Augenzwinkern

13.11.2007, 16:37

poochy

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das "auf den gleichen Nenner bringen" gestaltet sich irgendwie schwierig.

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{6(n-2)!} + \frac{(n+1)!}{2(n-1)!} = \frac{(n-1)(n+1)!}{6(n-1)!}+\frac{3(n+1)!}{6(n-1)!} \end{eqnarray*}$

geht das so?

13.11.2007, 16:43

klarsoweit

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Ist richtig. Ich würde aber die 6 als 3! stehen lassen. Die brauchen wir später wieder.

13.11.2007, 17:08

poochy

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Nächster Schritt wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{n! + 3(n+1)!}{6(n-1)!} \end{eqnarray*}$ ?

sieht mir suspekt aus....ne geht gar nicht... was kann man aus (n-1)*(n+1)! machen?

13.11.2007, 21:06

poochy

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ah HA!
totaler unsinn der post davor.

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)! [(n-1)+3]}{3!(n-1)!}=\frac{(n+1)! (n+2)}{3!(n-1)!} \end{eqnarray*}$

und das ist
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)!}{3!(n-1)!} \end{eqnarray*}$

anders ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

riiiiichtig? ja ja ja ja?

14.11.2007, 08:24

klarsoweit

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