Untersuche Reihen auf Konvergenz

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flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuche Reihen auf Konvergenz
Hi,

mir müsste mal wer bei folgenden Reihen, die man auf Konvergenz untersuchen soll, auf die Sprünge helfen. Die Kriterien kenne ich, habe jedoch das Problem, dass ich sie nicht auf die Reihen anwenden kann, wäre super, wenn mir jemand hilft.

a.)

b.)

c.)

d.)

e.)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuche Reihen auf Konvergenz
Etwas konkreter könntest du schon sein. Wo klemmt es denn jetzt?

Siehe auch:
Prinzip "Mathe online verstehen!"
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuche Reihen auf Konvergenz
Na wie gesagt, ich kenne die Kriterien, weiß nur nicht welches ich wo und wie anwenden muss, ich bräuchte mal eine Beispielaufgabe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuche Reihen auf Konvergenz
Da muß man (wenn man kein gutes Auge) eben mal probieren. Manchmal erkannt man in den Reihen auch schon bekannte Reihen wieder. Ich schlage vor, du fängst mal mit a an und dann schauen wir.
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuche Reihen auf Konvergenz
a.) ist eine monoton fallende Nullfolge (Leibniz-Kriterium) somit konvergent.

Ist das so richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuche Reihen auf Konvergenz
Da solltest du dir nochmal das Leibniz-Kriterium anschauen. Da gehört noch was dazu.

Tipp: ziehe mal die 10³ = 1000 vor die Summe.
 
 
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuche Reihen auf Konvergenz
Ok wenn ich die 1000 davor ziehe lautet es wie folgt:



Somit, ist die Reihe konvergent, da 1/k gegen 0 geht, monoton fallend.

So alles komplett?
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das Leibnizkriterium sagt nur etwas über Reihen der Form aus. Das ist hier nicht der Fall. Den Wert bzw. das Verhalten der Reihe über 1/k sollte man aber dennoch kennen...
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuche Reihen auf Konvergenz
Na 1/k geht doch gegen 0 bei k gegen unendlich, oder versteh ich da was falsch?

Ist die Begründung nicht korrekt? Sorry, aber lange ist's her. OK, das Leibnizkriterium war nicht richtig. Hab ich verstanden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuche Reihen auf Konvergenz
Eine Reihe kann nur dann konvergieren, wenn die Summanden gegen Null konvergieren. Aber das reicht nicht. Stichwort: harmonische Reihe
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke. Hatte nen Denkfehler, ich war bei Folgen.

1+ 1/2 + 1/3 +....1/n harmonische Reihe, konvergiert also nicht gegen 0 also divergent.

Kann ich b.) auch einfach so beantworten?!
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

b) ist ja nicht nur die harmonische Reihe, der "wesentliche" Teil der Summanden wird von der zweiten Summe ausgedrückt.
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei Reihen interessiert ja immer nur das was ins unendliche geht und das macht wie du schon sagst zum wesentlichen Teil die 2. Summe aus.

Bloß wie begründe ich das? Schreibe ich einfach 1/k! divergent, so wie die erste Summe und basta??
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber nicht, die Reihe ist nämlich nicht divergent, was man wiederrum einfach mit dem Quotientenkriterium nachweisen kann oder es spontan nach oben durch e abschätzt.
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Quotientenkriterium sagt aus, dass eine Folge divergent ist, wenn gilt



Dies gilt bei der 2. Summe,

somit ist die 2. Summe divergent. Vernachlässige ich in der Lösung dann einfach die erste Summe, da diese eh nur bis k=10 geht?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

Lies bitte aufmerksamer was ich oder andere im Board hier schreiben:

1. Das Quotientenkriterium sagt etwas über Reihen aus, nicht über Folgen. Man kann es natürlich auf Folgen auch anwenden da gilt , aber daran sind wir hier nicht interessiert.

2. Ich wiederhole mich: !!! also ist die Reihe konvergent, die ersten 10 Terme hin oder her.

3. Das Quotientenkriterium hilft Dir auch nur wenn gilt . Im Fall "=1" kannst Du garnichts darüber aussagen, das muss dann im Einzelfall geprüft werden.
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Mist sorry. Ja ich hab nicht aufgepasst. Danke für deine Erklärung, nun hab ich's verstanden.

Ok ich versuch mich mal an c.)

=

So nun frage ich mich ehrlich gesagt, wie ich da weiter rangehe. Also wenn ich's mit Logik versuche für k=1; 1/3 für k=2; 1/81 usw......d.h. diese Summe wird immer größer, wenn auch sehr schnell nur noch minimal. Also vermute ich jetzt recht schnell, dass es da einen Grenzwert geben muss, also ist die Summe konvergent. Ist das so richtig? Und kann ich das rechnerisch beweisen?
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte ich:



Somit ist die Summe divergent?! Denke das richtig so oder?
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

- Stichwort geometrische Reihe: http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gnu
3. Das Quotientenkriterium hilft Dir auch nur wenn gilt . Im Fall "=1" kannst Du garnichts darüber aussagen, das muss dann im Einzelfall geprüft werden.

Ungenau. Richtig muß es heißen:
Es gibt ein q mit 0 <= q < 1 und mit

Zitat:
Original von flyingchris
=

Hier hilft das Wurzelkriterium.

Zitat:
Original von flyingchris
Dann hätte ich:



Unglaublich. unglücklich Immer diese Potenzregeln:
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »

Ups Gott
flyingchris Auf diesen Beitrag antworten »

Ok konvergent für:

wenn es eine Schranke b<1 gibt mit



divergent, falls für unendlich viele k.

Also ist die Reihe c.) konvergent.



Sagt mit bitte dass das so richtig ist, sonst weiß ich auch net mehr Hammer .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flyingchris
divergent, falls für unendlich viele k.

Ungenau. Richtig ist:
divergent, falls für unendlich viele k.

Zitat:
Original von flyingchris


Warum diese Ungleichung gilt, solltest du schon noch etwas begründen.
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