Lotgerade zwischen zwei windschiefen Geraden

17.04.2005, 14:00

Asem-Hotep

Lotgerade zwischen zwei windschiefen Geraden

Ok, hier die Aufgabenstellung:

Es sind zwei windschiefe Geraden g1 und g2 gegeben (definiert durch Orts- und Richtungsvektor), bei denen nach einer Lotgerade gefragt wird.

Ok, hier mein Ansatz:

1)
Man nimmt g2 und den Richtungsvektor von g1 und bildet aus diesen beiden Komponenten eine Ebene E

2)
Man bestimmt den Normalvektor n von E

3)
nun projeziert man g1 in die Ebene E, indem manden Ortvektor von g1 durch den Ortsvektor von g2 ersetzt. Diese projezierte Gerade nenne ich im weiterenverlauf g1*

4)
nun schneidet man g1* mit g2, dadurch erhält man den Schnittpunkt S

5)
Der Punkt S dient als Ortsvektor, der ermittelte Normalenvektor n als Richtungsvektor für die Lotgerade

Meine Frage: ist dieser Lösungsansatz richig? Hoffe auf schnelle Antwort, da mein Kumpel und ich morgen unsere Mathe-Abiklausur haben

17.04.2005, 14:12

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

wie ich die geometriker kenne gibt es für sowas wieder irgendeine komische lösungsformel, aber eue ansatz ist sehr gut!
prima!
womit ich aber nicht behaupten würde, dass es da keine einfacheren methoden gibt verwirrt

mf jochen

ps: viel glück beim abitur

17.04.2005, 14:18

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lotgerade zwischen zwei windschiefen Geraden
$\begin{eqnarray*} g:\;\vec{x} =\vec{p} +r\vec{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h:\;\vec{x} =\vec{q} +s\vec{v} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(g,h)=\mid (\vec{q} -\vec{p}) \cdot \vec{n}_0 \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\vec{p} \times \vec{q} \end{eqnarray*}$
w2w

irgendwie verstehe ich euren ansatz wohl falsch: aber ist nicht euer schnittpunkt IMMER der aufpunkt von g2 in E(ich ersetze "g2" durch "g1"? und wie bekommt ihr am ende den abstand der beiden geraden?

17.04.2005, 14:19

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

ich sage nur: pöh! Augenzwinkern

hat diese formel auch einen namen? lässt sie sich mit obiger methode verifizieren oder mit einer einfacheren?

mfg jochen

ps: wofür eigentlich das 2w aus w2w, werner?

edit:

Zitat:

und wie bekommt ihr am ende den abstand der beiden geraden?

ich seh schon, wir machen ja auh ganz andere dinge, sie wollen nicht den abstand, sondern die lotgerade selbst..... das mir das nicht gleich aufgefalen ist....
richtugnsvektor dieser ist klar (kreuzprodukt der geradenrichtungsvektoren), dazu brauchen die dann noch einen passenden stützvektor, den sie eben durch paralelveschiebung und schnedien bekommen.

17.04.2005, 14:34

4c1d

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz müsste im Prinzip funktionieren, ich würde es aber folgendermaßen machen (etwas einfacher) : Das Skalarprodukt der Differenz der beiden Geradenvektoren (d.h. ein Vektor von der einen Geraden zur anderen) mit sowohl dem einen Richtungsvektor als auch dem anderen Richtungsvektor muss gleich 0 sein. Es ergibt sich ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten , das man lösen kann ... die Lotgerade ist dann die Gerade von dem errechneten Punkt auf der ersten Geraden zu dem auf der zweiten. Alternativ kann man, um den Richtungsvektor der Lotgeraden zu berechnen, auch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden berechnen.

edit : ein wenig zu spät

17.04.2005, 14:35

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo jochen,
zunächst das w2w: weil ja werner sooo verpönt ist, schluchz traurig

zum rest: ich habe so das gefühl, dass das genau das ist, was die 2 eh meinen, nur siehe oben, ich verstehe diesen weg nicht genau, oder nicht richtig. bzw, wie geht es jetzt nach 5) genau weiter? beispiel rechnen

hier läuft es sozusagen umgekehrt: man legt ZWEI parallele ebenen je eine durch g ung eine durch h, sie sind definiert durch die beiden spannvektoren der geraden(!) und man bestimmt nun den abstand der beiden ebenen, bzw. den eines punktes auf E2 von E1
aloso wieder
werner

n.s. name: abstand von 2 windschiefen geraden

17.04.2005, 14:39

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lotgerade zwischen zwei windschiefen Geraden
Der Ansatz ist richtig bis auf diesen Punkt:

Zitat:

Original von Asem-Hotep
3)
nun projeziert man g1 in die Ebene E, indem manden Ortvektor von g1 durch den Ortsvektor von g2 ersetzt. Diese projezierte Gerade nenne ich im weiterenverlauf g1*

Für die Projektion von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ mußt du den Stützpunkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ senkrecht in deine Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ projizieren. Dazu fällst du von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ aus das Lot auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ . Der Schnittpunkt des Lotes mit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist der Projektionspunkt $\begin{eqnarray*} P_1^{*} \in g_1^{*} \end{eqnarray*}$ .

N.B. Es heißt Projektion, aber projizieren.

17.04.2005, 14:40

Asem-Hotep

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, die abstandsberechnung ist doch aber auch sehr leicht, oder nicht? einfach wie bei "ebene / gerade" Abstandsberechnung oder nicht?

Neue Frage »

Antworten »

Lotgerade zwischen zwei windschiefen Geraden

Verwandte Themen