Imaginäre Einheit aus dem Nenner in den Zähler

13.11.2007, 17:57	andim	Auf diesen Beitrag antworten »
Imaginäre Einheit aus dem Nenner in den Zähler hallo steh gerade aufm schlauch, helft mir bitte: y= 1/jwL = - j/wL ich versteh nicht wieso ich es einfach in den nenner und mit *-1 multiplizieren darf. (mir ist bewusst das j^2 = -1) zusatzfrage: falls es mir jemand beantworten will, weil er so ergeizig ist, ich arbeite mich gerade in wechselstromlehre rein und check nach 20 seiten davon immer noch nicht wieso jez eigentl komplexe rechnung verwendet wird, also meine fragE: wieso kann ich es nicht alles weiterhin reell rechnen?
13.11.2007, 18:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. weil $\begin{eqnarray} j^2 = -1 \end{eqnarray}$ ! Du erweiterst den Bruch einfach mit j: $\begin{eqnarray} \underline{Y} = \frac{1}{j \omega L} = \frac{j}{j^2 \omega L} = -\frac{j}{\omega L} \end{eqnarray}$ mY+ P.S.: Zu deiner anderen Frage: Wenn wer ergeizig sein soll, dann DU Antworte mal kurz, vllt. besprechen wir dann das andere noch.
13.11.2007, 19:16	andim	Auf diesen Beitrag antworten »
also die einzige erklärung die ich auf lager hab für komplx. in etech: ich stelle ja meine ströme/spannungen mit der zeigerdarstellung dar, so ein zeiger hat 2 richtungen, einmal zeit und I oder U. um so einen zeiger jetzt darzustellen reicht mir eine reelle zahl nicht? geht zumindest in die richtige richtung oder? vielen dank mythos, auf die umformung hätte ich auch selbst kommen können
14.11.2007, 13:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Behandlung von sinusförmigen Wechselströmen hat sich die komplexe Funktionaltransformation (welche zu definieren ist) als sehr hilfreich erwiesen. Der tiefere Hintergrund bzw. die Beweggründe dafür liegen darin, dass sich anstatt mit den meist unbequemen Winkelfunktionen die Schreibweise mit e-Funktionen weit angenehmer gestaltet. Vor allem Differenzieren und Integrieren wird damit zum "Kinderspiel" (Beispiel weiter unten). Aber auch Verhältnisse von Spannung und Strom, Phasenwinkel, Schein-, Wirk- und Blindkomponenten, Dämpfungs- und Pegelmaße, Reflexion, Wellenausbreitung, Vierpol- und Leitungsgleichungen lassen sich in komplexer Schreibweise ungleich besser darstellen. Komplexe Funktionaltransformation: Sinusförmiger WS: $\begin{eqnarray} u = U sin(\omega t + \phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u \ \text{... reeller Momentanwert} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U \ \text{... reelle Amplitude} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega \ \text{... Kreisfrequenz} \ (= 2 \pi f) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi \ \text{... Anfangsphasenwinkel} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t \ \text{... Zeit} \end{eqnarray}$ Wir führen nun folgende komplexe Größe ein und kennzeichnen im Folgenden komplexe Größen mit einem Unterstrich: $\begin{eqnarray} \underline{u} = U [\cos (\omega t + \phi) + j \cdot \sin (\omega t + \phi)] \end{eqnarray}$ Um Verwechslungen mit dem Strom i zu vermeiden, wird die imaginäre Einheit ab sofort mit dem Buchstaben $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ bezeichnet. Die Definition der komplexen Funktionaltransformation besagt nun, dass der Imaginärteil von $\begin{eqnarray} \underline{u} \end{eqnarray}$ gleich dem eingangs angegebenen Term der rellen Wechselspannung ist. Analog gilt dies für den Strom i. In der Folge kann man dafür auch den Realteil des komplexen Termes definieren, denn im Prinzip ist auch der cosinusförmige Wechselstrom wie der sinusförmige zu behandeln. Somit kann auch geschrieben werden: $\begin{eqnarray} \underline{u} = U \cdot e^{j \omega t + \phi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underline{u} = U \cdot e^{j \phi} \cdot e^{j \omega t} \end{eqnarray}$ Die beiden ersten Faktoren zusammem bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray} \underline{U} = U \cdot e^{j \phi} \ ... \ \text{komplexe Amplitude} \end{eqnarray}$ und nennen sie komplexe Amplitude. Sie enthält die reelle Amplitude und den Anfangsphasenwinkel. $\begin{eqnarray} \underline{u} = \underline{U} \cdot e^{j \omega t} \end{eqnarray}$ Somit schreiben wir für Spannung und Strom insgesamt $\begin{eqnarray} \underline{u} = \underline{U} \cdot e^{j \omega t} \ \text{mit} \ \underline{U} = U \cdot e^{j \phi_u} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underline{i} = \underline{I} \cdot e^{j \omega t} \ \text{mit} \ \underline{I} = I \cdot e^{j \phi_i} \end{eqnarray}$ Abschließend zu der Definition muss noch deren Zulässigkeit überprüft werden. Alle Operationen dürfen im Allgemeinen nicht die Frequenz des Wechselstromes verändern (Linearität). Ohne Beweis gilt, dass die vektorielle Addition und die höheren Operationen (Logarithmieren, Differentiation, Integration) uneingeschränkt möglich sind. Multiplikation und Division sind nur nach weiteren Definitionen (Widerstand, Leitwert, Wechselstromleistung) zulässig bzw. gelten nur für die nicht frequenzbehafteten komplexen Amplituden, ansonsten sich die Frequenz ändern würde. Um den Vorteil der komplexen Schreibweise zu verdeutlichen, berechnen wir im folgenden Beispiel den komplexen Widerstand $\begin{eqnarray} \underline{X_L} \end{eqnarray}$ (Wechselstromwiderstand, Impedanz) einer Spule, deren Induktivität L H (Henry) (1 Vs/A) beträgt. Der Anfangsphasenwinkel des Stromes sei 0. Lt. Induktionsgesetz gilt $\begin{eqnarray} \underline{u} = (-)L \cdot \frac{\dd i}{\dd t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underline{u} = (-)L \cdot I \frac{\dd}{\dd t} e^{j \omega t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underline{u} = (-)L \cdot I j\omega t \cdot e^{j \omega t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underline{u} = (-)j \omega L \cdot I e^{j \omega t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underline{u} = (-)j \omega L \cdot \underline{i} \end{eqnarray}$ Dieses Ergebnis besagt, dass - wegen des Multiplikators j - die Spannung dem Strom in der Spule um 90° voreilt! Ausserdem können wir das Verhältnis $\begin{eqnarray} \underline{X_L} = \frac{\underline{u}}{\underline{i}} = j \omega L \end{eqnarray}$ ablesen, welches als komplexer Widerstand (Blindwiderstand=Reaktanz, allg. Scheinwiderstand, Impedanz) der Spule bezeichnet wird. Der komplexe Leitwert (Blindleitwert=Suszeptanz, allg. Scheinleitwert, Admittanz) $\begin{eqnarray} \underline{Y_L} \end{eqnarray}$ ist der Kehrwert von $\begin{eqnarray} \underline{X_L} \end{eqnarray}$ , dies war ja in deinem Beispiel gerade vorhin zu berechnen. Analog dazu kann der kapazitive Leitwert eines Kondensators (C) aus $\begin{eqnarray} \underline{i} = \frac{\dd q}{\dd t} = C \cdot \frac{\dd u}{\dd t} \end{eqnarray}$ errechnet werden. Er ist $\begin{eqnarray} \underline{Y_L} = \frac{\underline{i}}{\underline{u}} = j \omega C \end{eqnarray}$ Ich denke, dieser kurze Essay hat dir die Bedeutung der komplexen Behandlung des Wechselstomes etwas näher gebracht. mY+
14.11.2007, 16:11	andim	Auf diesen Beitrag antworten »
wow vielen dank für die ausführliche erklärung, denke ich hab das jetzt begriffen danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »