Folgen und Reihen

13.11.2007, 18:25

paule85

Folgen und Reihen

hallo leutz!!

habe immernoch ein problem mit einer aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

ich habe heraus:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}*n \end{eqnarray*}$

ich habe die bernoullische Ungleichung benutzt..zumindestens glaube ich das

aber da passt was nicht!! weil diese Folge gegen 1 von unten konvergieren soll

kenne mich noch nicht so gut aus

danke im voraus

13.11.2007, 18:47

flyingchris

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RE: Folgen und Reihen
Grenzwert 1 ist korrekt. Form doch mal um.

13.11.2007, 19:32

Angantyr

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Konvergiert das wirklich gegen 1? Ich behaupte, das konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ und ist gar nicht mal so einfach abzuschätzen!

13.11.2007, 19:53

Angantyr

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Mir ist noch etwas eingefallen.

Besuchst du eine Analysisvorlesung? Ihr habt im Kapitel Folgen im Skript sicher Grenzwertüberlegungen von der Folge $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ gemacht und so das erste Mal e angetroffen. Ich bin mir ziemlich sicher (aber zu müde, das nun nachzurechnen) dass du ziemlich analog verfahren kannst (insofern lagst du mit Bernoulli gar nicht so schlecht, das brauchst du nämlich)

13.11.2007, 20:02

paule85

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Folgen und Reihen
danke für die ganzen antworten......ihr habt mir sehr geholfen, da ein wenig besser durchzusteigen!!

14.11.2007, 08:33

klarsoweit

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RE: Folgen und Reihen

Zitat:

Original von flyingchris
Grenzwert 1 ist korrekt. Form doch mal um.

Wenn man etwas nicht wirklich sicher weiß, sollte man besser nicht antworten.

@paule85: forme so um:

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^n = (\frac{n-1}{n})^n = (\frac{n}{n-1})^{-n} = \left( (1+\frac{1}{n-1})^n \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch n = m+1 substituieren und bekannte Grenzwerte verwenden.

14.11.2007, 11:05

paule85

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RE: Folgen und Reihen
danke für die antwort, aber irgendwie bin ich dafür zu blöd...
ich kriege es nicht hin!!!

14.11.2007, 11:13

klarsoweit

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RE: Folgen und Reihen

Zitat:

Original von paule85
danke für die antwort, aber irgendwie bin ich dafür zu blöd...

Und trotzdem an einer Hochschule? Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^n = (\frac{n-1}{n})^n = (\frac{n}{n-1})^{-n} = \left( (1+\frac{1}{n-1})^n \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Substitution n=m+1

$\begin{eqnarray*} = \left( (1+\frac{1}{m})^{m+1} \right)^{-1} = \left( (1+\frac{1}{m})^m \cdot (1+\frac{1}{m}) \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt sollte man noch wissen, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty}~\left( 1+\frac{1}{m} \right)^m = e \end{eqnarray*}$ ist.

14.11.2007, 16:14

paule85

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RE: Folgen und Reihen
danke für die antwort jetzt habe ich es natürlich verstanden.
und danke für die geduld.......

14.11.2007, 16:27

paule85

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RE: Folgen und Reihen
habe noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe:

Für a,b>0 werden zwei Folgen (an) n € N und (bn) n€N rekursiv definiert duch a0= a, b0= b und

an+1= $\begin{eqnarray*} \frac{2an*bn}{an+bn} \end{eqnarray*}$ , bn+1 = $\begin{eqnarray*} \frac{an+bn}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zeige: [an,bn] ist Intervallschachtelung für $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$

ich konnte das mit dem editor nicht so machen wie ich wollte eigentlich soll das "n+1" bei z.B.: an+1 ein wenig tiefer stehen

die frage ist wie ich da anfange soll??
hab ich vergessen zu fragen.....

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