Riemann integrierbar?

17.04.2005, 14:20

Nephente

Riemann integrierbar?

Hallo,

hab hier eine Aufgabe bei der ich entscheiden soll, ob die Funktion Riemann integrierbar ist und ggf. das Integral bestimmen.

$\begin{eqnarray*} f: I=[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\\f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0, & x\in I\backslash\mathbb{Q} \\ \frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q} \,mit\, p,q\in\mathbb{N} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Ich hab mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} \forall\,Zerlegungen\,Z:U(Z,f)=0 \end{eqnarray*}$ weil jedes Intervall irrationale Zahlen enthält. Daher ist auch das Unterintegral 0.
Da Q dicht in R ist, ist das Supremum von f(x) auf jedem Intervall >0.
Damit ist die Obersumme >0 und da es für alle Zerlegungen Z gilt auch das Oberintegral. Damit sind Ober- und Unterintegral ungleich und die Fkt. nicht Riemann-integrierbar.

Ich hab nur irgendwie das Gefühl als ob ich mich irre. Vor allem aufgrund der Aufgabenstellung, die irgendwie impliziert, dass das Integral existiert...

Vielleicht kann mal einer drübergucken.
Danke!

Gruss Nephente

17.04.2005, 18:40

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RE: Riemann integrierbar?

Zitat:

Original von Nephente
$\begin{eqnarray*} \forall\,Zerlegungen\,Z:U(Z,f)=0 \end{eqnarray*}$ weil jedes Intervall irrationale Zahlen enthält. Daher ist auch das Unterintegral 0.
Da Q dicht in R ist, ist das Supremum von f(x) auf jedem Intervall >0.
Damit ist die Obersumme >0 und da es für alle Zerlegungen Z gilt auch das Oberintegral. Damit sind Ober- und Unterintegral ungleich und die Fkt. nicht Riemann-integrierbar.

Alles richtige Argumente - bis auf den letzten Halbsatz: Schließlich kann die Obersumme für Zerlegungsschrittweite $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ auch gegen Null konvergieren, und in diesem Fall existiert das Integral!

18.04.2005, 20:10

KoelnStudent

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Hi,
hm den Beweis dazu würde ich gerne mal sehen...

18.04.2005, 20:56

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Ok, ich geb mal eine Beweisskizze:

Man betrachte die spezielle Intervallzerlegung von [0,1] in $\begin{eqnarray*} N=\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$ gleichlange Intervalle. Für j=1,..,N sei nun $\begin{eqnarray*} q_j \end{eqnarray*}$ der minimale Divisor aller rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ des Intervalls $\begin{eqnarray*} \left(\frac{j-1}{N},\frac{j}{N}\right] \end{eqnarray*}$ . Da es nun aber höchstens q Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,1] gibt, können auch höchstens q der N Zahlen $\begin{eqnarray*} q_1,\ldots,q_N \end{eqnarray*}$ gleich q sein!

Es folgt für die Obersumme

$\begin{eqnarray*} O(N)\leq \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \frac{1}{q_j} \leq \frac{1}{N}\sum_{q=1}^k q\cdot\frac{1}{q}=\frac{k}{N}=\frac{2}{k+1} \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Andere Intervallaufteilungen von [0,1] kann man geeignet mit einer dieser N-Aufteilungen abschätzen.

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