Aufgabe: Komplexe Zahl

13.11.2007, 20:35

KingAchim

Aufgabe: Komplexe Zahl

Aufgabe:

bringe ((wurzel(3) - i)/ 2)^2007

auf die form z=r (cos(phi) + i sin(phi))

Kann mir jemand helfen?
Danke im vorraus!

13.11.2007, 20:38

20_Cent

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Lass das ^2007 zunächst mal weg, und kümmere dich um das innere.
Jetzt kannst du den Betrag und das Argument der Zahl bestimmen. Für das Argument machst du dir am besten eine Zeichnung.
mfg 20

13.11.2007, 21:02

KingAchim

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$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{({\frac{1}{2} \sqrt{3})}^2 + (0.5)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi = arctan((-1/2)/(1/2*\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

und die potenzformel

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt[2007]{\mid z \mid}*(cos(\frac{\phi}{2007})+ i*\sin(\frac{\phi}{2007})) \end{eqnarray*}$

kenne ich auch.

aber wenn ich die komplexe zahl computerprog eingebe, kommt da -i als ergebnis raus... bei mir nicht!

edit by 20: setzte

code:
1:	[latex]...[/latex]

13.11.2007, 21:13

20_Cent

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Was hast du denn für r und phi raus?

Ich dachte du sollst hoch 2007 rechnen, in deiner Formel hast du die 2007ertste wurzel gezogen.
mfg 20

13.11.2007, 21:26

KingAchim

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$\begin{eqnarray*} z = (\sqrt{\mid z \mid})^{2007})*(cos(phi*2007)+ i*\sin(phi*2007)) \end{eqnarray*}$

diese formel meinte ich natürtlich...
für phi habe ich arctan( - $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ )
für r habe ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1,75} \end{eqnarray*}$

|z| = r

13.11.2007, 21:34

20_Cent

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Zunächst mal ist die Wurzel über dem |z| falsch.
Dann hast du falsch gerechnet, nicht 1,75, sondern?
Bei phi bin ich nicht ganz sicher, bin grade knapp mit der Zeit, guck dir das nochmal an, wenns nicht passt, nachdem du r richtig hast.
mfG 20

13.11.2007, 22:33

Julien86

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Zitat:

Original von KingAchim
$\begin{eqnarray*} z = (\sqrt{\mid z \mid})^{2007})*(cos(phi*2007)+ i*\sin(phi*2007)) \end{eqnarray*}$

diese formel meinte ich natürtlich...
für phi habe ich arctan( - $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ )
für r habe ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1,75} \end{eqnarray*}$

|z| = r

studierst du zufällig in bochum Big Laugh

also für r bekomm ich |r|=1 raus

und der formel kann ich nicht ganz folgen, warum holst du die ^2007 mit rein ergibt kein sinn für mich...

14.11.2007, 01:10

mYthos

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Siehe die gleiche Aufgabe bei

z=r(cosµ+i*sinµ)

Hoffentlich bist du nicht mit dem User dort ident, nach der IP-Adresse wäre es fast möglich ... oder vielleicht die gleiche Schule?

r = 1, definitiv, und der Winkel ist -30°. Diesen muss man nun (nach Moivre) mit 2007 multiplizieren, danach Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi = 360° \end{eqnarray*}$ addieren, bis man zu einem Hauptwinkel kommt.

mY+

14.11.2007, 01:42

Albertino

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muss man den hauptwinkel nehmen?
also die (11/6) $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$
oder kann man die $\begin{eqnarray*} -\pi /6 \end{eqnarray*}$ auch nehmen?

14.11.2007, 02:50

Julien86

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Zitat:

Original von mYthos
Siehe die gleiche Aufgabe bei

z=r(cosµ+i*sinµ)

Hoffentlich bist du nicht mit dem User dort ident, nach der IP-Adresse wäre es fast möglich ... oder vielleicht die gleiche Schule?

r = 1, definitiv, und der Winkel ist -30°. Diesen muss man nun (nach Moivre) mit 2007 multiplizieren, danach Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi = 360° \end{eqnarray*}$ addieren, bis man zu einem Hauptwinkel kommt.

mY+

ich hacke da mal kurz ein, kann man nicht einfach den winkel zwischen der x-achse und den P(Ortsvektor..) der gegeben ist ausrechnen und in der formel einsetzen nur man muss anschließend die ^2007 an die Gleichung anfügen?!

14.11.2007, 10:56

mYthos

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Diesen Winkel - zwischen Vektor und x-Achse - habe ich ja angegeben, er ist -30° oder anders herum 330°. Man kann sowohl mit dem einen, als auch mit dem anderen weiterrechnen, in jedem Fall ist dieser nun mit 2007 zu multiplizieren. Was machst du nun lieber, -30*2007 oder 330*2007, na eben Big Laugh

Soda.

-30*2007 = -60210, zu diesem nun den Hauptwinkel bestimmen, Vielfache von 360° addieren, bis ein Winkel kleiner als 360° übrig bleibt. Um das Vielfache zu eruieren, dividieren wir -60210 : 360 (= -167,25), uns interessiert nur der Rest, der ist -90°. Also lautet das Ergebnis -i.

Natürlich kann man das auch mit 330° rechnen, dann liefert die Division 662310 : 360 = 1839,75, der Rest sind dann 270°, dies führt natürlich ebenfalls zu -i

Im Bogenmaß:

$\begin{eqnarray*} \frac {11 \pi}{6} \cdot 2007 = \frac{22077 \pi}{12} = 3678 \pi + \frac{3 \pi}{2} \ \to \ \text{Winkel ist} \ \frac{3 \pi}{2} \ \to \ -i \end{eqnarray*}$

mY+

15.11.2007, 00:00

Julien86

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Zitat:

Original von mYthos
Diesen Winkel - zwischen Vektor und x-Achse - habe ich ja angegeben, er ist -30° oder anders herum 330°. Man kann sowohl mit dem einen, als auch mit dem anderen weiterrechnen, in jedem Fall ist dieser nun mit 2007 zu multiplizieren. Was machst du nun lieber, -30*2007 oder 330*2007, na eben Big Laugh

also bei mir kommt kein negativer winkel raus +30° denn cos^-1(Wurzel(3)/2)

15.11.2007, 00:21

Julien86

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und nach moivre habe ich folgenden term raus:

z^2007=1^2007*[2007*cos(30°)+i*sin(30°)*2007]

und wie weiter

15.11.2007, 01:10

Albertino

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kann man das so schreiben?

$\begin{eqnarray*} z=cos(3678\pi +1,5\pi )+i*sin(3678\pi +1,5\pi )=cos(1,5\pi )+i*sin(1,5\pi ) \end{eqnarray*}$

oder muss ich noch was beachten,zum beispiel Additionstheoreme von Kosinuns ?

mfg

15.11.2007, 02:24

Poff

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((wurzel(3) - i)/ 2)^2007 =((wurzel(3) - i)/ 2)^(669*3)

= ( ((wurzel(3) - i)/ 2)^3 )^669 = ... = (-i)^669 = -i

15.11.2007, 10:17

mYthos

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@Albertino

Ja. Add. theorem hier nicht, da wegen der Periodenlänge von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ deren Vielfache weggelassen können.

@Julien

Zeichne dir den gegebenen Zeiger mal auf, dann siehst du sofort, dass sich der Zeiger im 4. Quadranten befindet; daher ist der Winkel -30° oder 330° !

mY+

16.11.2007, 02:41

Julien86

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Zitat:

Original von Julien86

Zitat:

also bei mir kommt kein negativer winkel raus +30° denn cos^-1(Wurzel(3)/2)

ok aber eine sache versthe ich nicht: wie hast du das mit der bestimmung gemacht? warum sind es genau 3/2*Pi ?

16.11.2007, 10:24

mYthos

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Das wurde doch vorhin genau beschrieben.
Hast du das nicht gelesen, wie das mit dem Rest gemacht wurde?

Von $\begin{eqnarray*} 3679,5 \pi \end{eqnarray*}$ so lange Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ abziehen, bis ein Winkel kleiner $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ übrigbleibt.

mY+

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