Matrizen und lineare Abbildungen

17.04.2005, 14:50

The_Lion

Matrizen und lineare Abbildungen

Hallo.

Ich habe das Nötige zum Workshop zu Matrizen durchgelesen und auch etwas die Suchfunktion benutzt.
Ich werde meine Fragen zu diesem Thema, sofern sie nicht durch ältere Threads schon beantwortet werden, hier reinstellen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B_v=\{\vec{v_1},...\vec{v_n}\} \end{eqnarray*}$ sei Basis von V; $\begin{eqnarray*} B_w=\{\vec{w_1},...,\vec{w_m}\} \end{eqnarray*}$ sei Basis von W (also insbesondere dim V = n, dim W = m).
Sei f : V--> W eine lineare Abbildung. f wird eindeutig beschrieben durch die Bilder der $\begin{eqnarray*} v_\nu \end{eqnarray*}$ , und diese lass sich als Linearkombination bzgl. $\begin{eqnarray*} B_w \end{eqnarray*}$ darstellen
$\begin{eqnarray*} f(\vec{v}_\nu)= \sum_{\mu=1}^m a_{\mu\nu}\vec{w}_\mu \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ = 1,...,n.
f wird also charakterisiert durch die Körperelemente $\begin{eqnarray*} a_{\mu\nu} \end{eqnarray*}$ ; dieses fassen wir zu einer Matrix zusammen.

Langer Text aber kurze Frage: Was genau bedeutet hier " f wird eindeutig beschrieben durch die Bilder der $\begin{eqnarray*} v_\nu \end{eqnarray*}$ " ?

Zitat:

Mit M(m x n, K) bezeichnet man die Gesamtheit der m x n Matrizen mit Elementen aus K.

Heißt das, dass mit M(m x n, K) die Gesamtheit aller möglichen m x n Matrizen bezeichnet werden ?

edit: Der linearen Abbildung f: V --W wird also (bzgl. fest gewählter Basen in V und W ) eine Matrix A zugeordnet.
Ist $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \sum_{\nu=1}^n x_{\nu}f(\vec{v}_{\nu}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{\nu=1}^n x_{\nu}(\sum_{\mu=1}^m a_{\mu\nu} \vec{w}_{\mu}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{\mu=1}^m (\sum _{\nu=1}^n x_{\nu}) a_{\mu\nu} \vec{w}_{\mu} \end{eqnarray*}$

Wieso stellt man hier am Ende die Summenzeichen um ?
Um das Ganze einheitlich darzustellen, also Körperelemente beieinander ?

Danke.

17.04.2005, 15:12

Anirahtak

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RE: Matrizen und lineare Abbildungen
Hallo,

Zitat:

Original von The_Lion
Langer Text aber kurze Frage: Was genau bedeutet hier " f wird eindeutig beschrieben durch die Bilder der $\begin{eqnarray*} v_\nu \end{eqnarray*}$ " ?

Wenn du die Bilder das Basisvektoren festgelegt hast, dann ist die Abbildung definiert, d.h. für alle x aus V ist f(x) durch die f(v_nu) eindeutig bestimmt.

Zitat:

[i]Original von The_Lion[I]
Heißt das, dass mit M(m x n, K) die Gesamtheit aller möglichen m x n Matrizen bezeichnet werden ?

Was meinst du mit möglich? Es sind einfach alle (mxn)-Matrizen, deren Einträge allesamt aus K sind.

Ich hoffe, ich konnte mich verständlich ausdrücken.

Gruß
Anirahtak

17.04.2005, 16:49

The_Lion

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Zitat:

Satz (Zusammenfassung):
Sei in V eine Basis $\begin{eqnarray*} B_V= \{\vec{v_1},...,\vec{v_n}\} \end{eqnarray*}$ und in W eine Basis $\begin{eqnarray*} B_W= \{\vec{w_1},...,\vec{w_m}\} \end{eqnarray*}$ fest gewählt. Für jede m x n -Matrix $\begin{eqnarray*} A = a_{\mu\nu} \end{eqnarray*}$ wird durch $\begin{eqnarray*} f_A((x_1,...,x_n)_{B_V}):= A\vec{x} := \left( \sum_{\nu=1}^n a_{1\nu}x_{\nu},..., \sum_{\nu=1}^n a_{\mu\nu}x_{\nu} \right)_{B_W} \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f_A : V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ definiert und die Zuordnung $\begin{eqnarray*} A \mapsto f_A \end{eqnarray*}$ liefert eine bijektive Abbildung der Menge M(m x n, K) aller m x n -Matrizen auf die Menge Hom_K(V,W) aller K-Vektorraumhomorphismen $\begin{eqnarray*} V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ .

Die x_i sind hier wohl die einzelnen Koordinaten bezüglich der Spalten der Matrix.

Kannst Du mir vielleicht auch erklären, was es hier mit $\begin{eqnarray*} f_A((x_1,...,x_n)_{B_V}):= A\vec{x} := \left( \sum_{\nu=1}^n a_{1\nu}x_{\nu},..., \sum_{\nu=1}^n a_{\mu\nu}x_{\nu} \right)_{B_W} \end{eqnarray*}$

auf sich hat ?

A ist die Matrix und $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ der Vektor, mit dem die Matrix multipliziert wird ? "multipliziert ?" gehts hier um Multiplikation ?

Wieso addiert man für die erste Koordinate des Endergebnisses jeweils die erste Zeile der Koeefizienten mit den entsprechenden $\begin{eqnarray*} x_{\nu} \end{eqnarray*}$ ?

Die Matrix A steht doch für mehrere Vektoren , um genau u sein, für m Vektoren aus W, die spaltenweise ablesbar sind. Heißt das also, dass ich diese ganzen Vektoren mit einem neuen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ addiere und so die Koordinaten des neuen Vektors erhalte ?

edit:

Zitat:

Bsp: Sei K = $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dim V = 3, dim W = 4. Sei
...., sodass die Matrix A = ... entsteht.
Die Matrix A hängt im wesentlichen von der Wahl der Basen von V und W ab!

Was genau bedeutet das ?

Danke.

18.04.2005, 09:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von The_Lion
A ist die Matrix und $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ der Vektor, mit dem die Matrix multipliziert wird ? "multipliziert ?" gehts hier um Multiplikation ?

Ja es geht hier auch um Multiplikation, nämlich um die Matrixmultiplikation einer Matrix A mit einem Vektor x (nicht umgekehrt).

Ich versuche mal das Thema lineare Abbildung und ihre Darstellungsmatrix an einem Beispiel zu erklären:
Nehmen wir mal die Abbildung f(x,y) = (x+y, y-x) mit der Basis B = ((1;0), (0;1)) von V=W=R².
Wichtig: Die Spalten der Abbildungsmatrix A sind die Koordinatenvektoren bezüglich der Basis W von den Bildern der Basisvektoren von V. Also:
f(1;0) = (1;-1) = 1 * (1;0) + (-1) * (0; 1)
f(0;1) = (1; 1) = 1 * (1;0) + 1 * (0; 1)
Demzufolge ist:
$\begin{eqnarray*} {A_V}^W = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nehmen wir nun die Basis V = ((2; 0), (1; 1)). Dann ist:
f(2;0) = (2;-2) = 2 * (1;0) + (-2) * (0; 1)
f(1;1) = (2; 0) = 2 * (1;0) + 0 * (0; 1)
Das ergibt:
$\begin{eqnarray*} {A_V}^W = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und zum guten Schluß noch V = ((1;0), (0;1)) und W = ((2; 0), (1; 1))
f(1;0) = (1;-1) = 1 * (2;0) + (-1) * (1; 1)
f(0;1) = (1; 1) = 0 * (2;0) + 1 * (1; 1)
Hier ist:
$\begin{eqnarray*} {A_V}^W = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man kann also jede lineare Abbildung durch eine Matrix darstellen, die natürlich von den verwendeten Basen abhängt. Umgekehrt generiert jede Matrix eine entsprechende lineare Abbildung.

18.04.2005, 18:12

The_Lion

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Danke klarsoweit, das hat mir schon sehr geholfen.
Ich habe aber noch Fragen.

Du schreibst in deinem zweiten Beispiel mit Basis V = ((2; 0), (1; 1))
f(2;0) = (2;-2) = 2 * (1;0) + (-2) * (0; 1)
f(1;1) = (2; 0) = 2 * (1;0) + 0 * (0; 1)

Du bildest hier die Linearkombination in Lin W (also den von W aufgespannten Raum) 2 * (1;0) + (-2) * (0; 1) und 2 * (1;0) + 0 * (0; 1)
Hier benutzt Du die Basisvektoren (1,0) und (0,1). Dieses sind also die Basisvektoren von W richtig , da die lineare Abbildung von V nach W geht ??
Aber du hast das W oben nicht definiert, oder falsch aufgeschrieben

noch eine Frage:
Wenn man $\begin{eqnarray*} V = \{v_1,v_2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=\{w_1,w_2\} \end{eqnarray*}$ hat, dann muss man zu der linearen Abbildung die Koordinatenvektoren in der Matrix so aufschreiben, dass dann z.B. bei $\begin{eqnarray*} f(0,1) = (0,1) = r_1*w_1 + r_2*w_2 \end{eqnarray*}$ oben $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und unten als zweite Koordinate $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ steht oder? also gemäß der Indizes, so :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r_1 & .. \\ r_2 & .. \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Andersrum wäre es nicht möglich oder etwa doch ?

woher weiss man, wieviele Spalten die Matrix zu der zugehörigen linearen Abbildung hat ?

Danke.

19.04.2005, 09:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von The_Lion
Hier benutzt Du die Basisvektoren (1,0) und (0,1). Dieses sind also die Basisvektoren von W richtig , da die lineare Abbildung von V nach W geht ??
Aber du hast das W oben nicht definiert, oder falsch aufgeschrieben

OK, ich habe das W nicht nochmal explizit erwähnt. Es ist aber das gleiche W mit der gleichen Basis (1,0) und (0,1) wie im ersten Beispiel.

Zitat:

Original von The_Lion
noch eine Frage:
Wenn man $\begin{eqnarray*} V = \{v_1,v_2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=\{w_1,w_2\} \end{eqnarray*}$ hat, dann muss man zu der linearen Abbildung die Koordinatenvektoren in der Matrix so aufschreiben, dass dann z.B. bei $\begin{eqnarray*} f(0,1) = (0,1) = r_1*w_1 + r_2*w_2 \end{eqnarray*}$ oben $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und unten als zweite Koordinate $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ steht oder?
....
woher weiss man, wieviele Spalten die Matrix zu der zugehörigen linearen Abbildung hat ?

Ob f(0,1) = (0,1) ist, hängt von f ab. Ansonsten richtig. Die Zahl der Matrixspalten ist identisch mit der Anzahl der Basisvektoren von V = Dim(V). Du mußt ja der Reihe nach sämtliche Basisvektoren von V abarbeiten und die Koordinatenvektoren der Bilder bestimmen und als Spalten in die Matrix eintragen.

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