Gaußklammer

13.11.2007, 22:21

zeusosc

Gaußklammer

Hi, das forum habe ich schon durchsucht Augenzwinkern

Hier die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \text{Zeigen Sie: }\forall x\in\mathbb{R}\exists p\in \mathbb{Z}:p\leq x<p+1 \end{eqnarray*}$

Dabei handelt es sich um die Gaußklammer, in Zeichen:
$\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor :=\max_{p\in\mathbb{Z},p\leq x}(p) \end{eqnarray*}$

Ich habe leider noch keinen Ansatz dafür,..
(...aber noch n paaaaar tage zeit Big Laugh

)

vlt. kann mir jemand auf Die sprünge helfen,..
grüüße

13.11.2007, 22:41

tmo

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kennst du das archimedesaxiom und darfst du es benutzen?

13.11.2007, 22:55

zeusosc

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Ich kenn es, ob ich es benutzen darf weiß ich net,..
zur not müsste ich es aus dem supremumsaxiom á la Wikipedia folgern,..

hmmmm,... das sieht ja da fast schon so aus als ob,...der beweis praktisch schon da steht,.. k danke für den tipp,.. ich muss grad mal noch was tippen, dann guck ich mir das weiter an,.. danköö,.. bis evtl. nachher

13.11.2007, 23:38

zeusosc

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juti, also ich muss zwei dinge zeigen:
$\begin{eqnarray*} (1): \exists (n_1,n_2) _{\in\mathbb{N}}:\text{i) }n_1> x \wedge \text{ii) }-n_2<x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2): \text{ aus } (1)\Rightarrow \exists n_{\in\mathbb{N}}:n\leq x<n+1 \end{eqnarray*}$

weiter bin ich gerade noch net,.. über hilfe bin ich natürlich immer dankbar Gott

grüüüße

14.11.2007, 00:14

zeusosc

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Ahh gut,
also zu (1):
Angenommen das Archimedesaxiom gelte, und Sei
$\begin{eqnarray*} y>x>0\Rightarrow\exists n\in\mathbb{N}:nx>y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Da }x>0\wedge y>0 \Rightarrow xy>0 \end{eqnarray*}$

ok sei mal x und y größer 1 sonst nimmt man halt die Multiplikativ inversen,...(vlt. sollt ich generell ne fallunterscheidung machen,..??!!)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow xy>y>x>0 \Rightarrow\exists n_1\in\mathbb{N}:n_1y>xy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n_1y-xy>0\Leftrightarrow y(n_1-x)>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n_1-x>0 \end{eqnarray*}$
(muss ich hier mit nullteilerfreiheit begründen oder reicht es zu sagen wegen den ordnungsaxiomen???)
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n_1>x\hspace{80pt}\Box \end{eqnarray*}$

bei ii) nimmt man halt
$\begin{eqnarray*} y>-x>0\Rightarrow\exists n_2\in\mathbb{N}:-n_2<x \end{eqnarray*}$
nach dem muster von oben folgt dann:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n_2-(-x)>0\Leftrightarrow n_2>-x\Leftrightarrow -n_2<x \end{eqnarray*}$

das wärs schon mal zur (1),...

über anmerkungen und kritik würd ich mich freuen smile

14.11.2007, 00:28

zeusosc

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Die rechte Seite der ungleichung von (2) ist auch schnell gezeigt:

Denn nach (1):
$\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb{N}:x<n\overset{n+1>n}{\Rightarrow}x<n+1 \end{eqnarray*}$
,... die linke seite macht mir noch schwierigkeiten,.. besonders der "gleichanteil" der ungleichung $\begin{eqnarray*} n\leq x \end{eqnarray*}$ ,..

14.11.2007, 00:56

zeusosc

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Ok, ich probier es mal,..
wir wissen nach (1) i) $\begin{eqnarray*} \exists n_1 \in\mathbb{N}:x<n_1\overset{n_!+1>n_1}{\Rightarrow}x<n_1+1 \end{eqnarray*}$

wir wissen weiter nach (1) ii) $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R}\exists n_2\in\mathbb{N}:-n_2<x \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\subset\mathbb{R}\Rightarrow \exists n\in\mathbb{N} \wedge x\in\mathbb{R}:n = x \end{eqnarray*}$
nehmen wir an $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ sei unter umständen ein sochles n, sodaß gilt:
$\begin{eqnarray*} -n_2\leq x\forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
(Das so zu argumentieren is a bissl doof, hat vlt jemand ne idee wie ich das besser machen könnte???)

Da letztere kleinergleichheit $\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ gilt, gilt es insbesondere auch für
$\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ sodaß $\begin{eqnarray*} -n_2\leq(-x)\Leftrightarrow n_2\leq x \end{eqnarray*}$

Fassen wir zusammen, nach (1) gilt also:
$\begin{eqnarray*} n_2\leq x<n_1+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n_2<n_1+1\Rightarrow n_2-1<n_1 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n_1=n_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2-1\leq x-1 \end{eqnarray*}$ folgt: (hmm das gefällt mir auch net so)..
$\begin{eqnarray*} n_1-1\leq x-1 < n_1\Leftrightarrow n_1\leq x <n_1+1\Box \end{eqnarray*}$

Die beweisskizze hat noch ne menge lücken,.. vlt. hat jemand ne idee wie ich die ausbessern kann,..
dankööö

14.11.2007, 14:49

zeusosc

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Kann mir jemand büdde etwas dazu sagen??

grüüße

14.11.2007, 15:28

tmo

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du kannst dir mal den thread hier angucken:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=605468#post605468

14.11.2007, 15:50

zeusosc

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Super, danke TMO,..
ich schau mir es nachher mal genauer an,..
Freude

15.11.2007, 11:47

zeusosc

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Hi,. bzgl des links,..

Also wie ich das verstehe wähle ich mir die Menge aller Relationen kleiner gleich einem $\begin{eqnarray*} \epsilon\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} M:=\{m|m\leq\epsilon\} \end{eqnarray*}$ und zeige das für alle
$\begin{eqnarray*} \epsilon\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ es ein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ in dieser klasse (also mal schnell hingeguckt ist das ne ä-relation, und M könnte die menge aller repräsentanten sein, also praktisch ne ä-klasse, is aber hier net gefragt...) ..
in dieser Menge gibt...
Dann schau ich mir die drei fälle an und sehe hey,. das gilt für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ,.. die überführung von
$\begin{eqnarray*} m\leq\epsilon \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \epsilon<m+1 \end{eqnarray*}$ ist mir nicht so ganz klar,..bzw. selber nicht so schlüssig, den die argumentation mit:

Zitat:

Fassen wir zusammen, nach (1) gilt also:
$\begin{eqnarray*} n_2\leq x<n_1+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n_2<n_1+1\Rightarrow n_2-1<n_1 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n_1=n_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2-1\leq x-1 \end{eqnarray*}$ folgt: (hmm das gefällt mir auch net so)..
$\begin{eqnarray*} n_1-1\leq x-1 < n_1\Leftrightarrow n_1\leq x <n_1+1\Box \end{eqnarray*}$

ist der vom link ziemlich gleich,...

dankööö

15.11.2007, 13:56

tmo

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Zitat:

Original von zeusosc
die überführung von
$\begin{eqnarray*} m\leq\epsilon \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \epsilon<m+1 \end{eqnarray*}$ ist mir nicht so ganz klar

m ist das größte element in der menge.

wäre nun $\begin{eqnarray*} \epsilon\geq m+1 \end{eqnarray*}$ , dann wäre $\begin{eqnarray*} m+1 \end{eqnarray*}$ auch in der menge, was ein widerspruch ist.

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