Banachscher Fixpunktsatz

14.11.2007, 14:53	lottixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz Hallo, kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe Hilfe leisten??? Ich weiß gar nicht wie ich beginnen soll. Verwenden Sie den Banachschen Fixpunktsatz, um zu zeigen, dass es reelle Zahlen x,y gibt mit $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{40} x^{2}+2y+ \frac{2}{25} y^{2}- \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = 3x+\frac{1}{20} x^{2}+ \frac{1}{100} y^{2} -1 \end{eqnarray}$
14.11.2007, 17:40	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Definiere dir die Rechte Seite als Funktion F. Zeige für diese Funktion die nötigen Eigenschaften des Banachschen Fixpunktsatzes, wobei du den Definitionsbereich geeignet wählen musst. Ich würde zuerst die Ableitung von F ausrechnen (die Jakobimatrix), und deren Norm, so dass du schaun kannst, wie du das kleiner als 1 abschätzen kannst. mfG 20
14.11.2007, 21:41	lottixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für die Antwort. So ganz habe ich das noch nicht verstanden. hm, soll ich dann also die erste Gleichung nach x und die zweite Gleichung nach y ableiten? Wieso habe ich dann eine Jacobimatrix? Davon kam noch nichts in der Vorlesung dran.
14.11.2007, 22:55	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst definierst du dir die Funktion F(x,y)=(...,...), also die rechte Seite. Die Jakobimatrix benutzt du zum zeigen der Lipschitzstetigkeit über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung (im R^2). mfG 20

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