kurze frage nullstelle

14.11.2007, 17:20

HabNeFrage

kurze frage nullstelle

hallo zusammen!

also ich habe folgende gleichung:
f(x) = x - ln(x)

für die nullstellen habe ich 0 gleichgesetzt und umgeformt bis ich das hier habe:
x=e^-x

wie komme ich jetzt an das x?

14.11.2007, 17:23

Airblader

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Wie kommst du auf

$\begin{eqnarray*} x = e^{-x} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Wenn, dann $\begin{eqnarray*} x = e^x \end{eqnarray*}$ .

Aber mal von Anfang an:

$\begin{eqnarray*} x - \ln x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~ x = \ln x \end{eqnarray*}$

Das kannst du aber nicht lösen, außer mit LambertW

Edit: Das Ding hat übrigens keine Lösung im Reellen.

air

14.11.2007, 17:26

HabNeFrage

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also hier (im mathebuch) steht:
gegeben ist f(x)=x-ln(x)
a) Untersuchen sie f.

diesen lambert da hatten wir noch nicht bzw hab noch nie etwas davon gehört ..

14.11.2007, 17:27

Airblader

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Ja, deswegen kannst du es nicht.

Es hat aber auch keine Lösung, es existiert keine reelle Nullstelle.

air

14.11.2007, 17:28

tigerbine

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Zwischenfrage

Hattet ihr schon die Ableitung?

14.11.2007, 17:29

HabNeFrage

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achso, woran genau erkennt man das ohne jetzt so eine grafik zu haben?

EDIT: es geht jetzt um
f(x)=x - log e (x)
also mit der basis e

nur falls das jetzt vielleicht nicht so rüber kam..

14.11.2007, 17:33

Airblader

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Ja, schon klar.
Im Plotter ist log(x) der natürliche Logarithmus (also zur Basis e).

Es hat keine Lösung.
Woran du es siehst? "Du kannst die Gleichung nicht lösen". Das ist zwar kein Grund, aber ein Grund, warum du keine NS ausrechnen kannst.

air

14.11.2007, 17:35

HabNeFrage

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Zitat:

Original von Airblader
Ja, schon klar.
Im Plotter ist log(x) der natürliche Logarithmus (also zur Basis e).

Es hat keine Lösung.
Woran du es siehst? "Du kannst die Gleichung nicht lösen". Das ist zwar kein Grund, aber ein Grund, warum du keine NS ausrechnen kannst.

air

ja, nur wenn ich jetzt so eine gleichung in der klausur habe, woran kann ich sehen dass sie keine nullstellen hat? einfach probieren und wenn ich nicht nach x auflösen kann dann gibts keine?
oder gibts da einfache indizien an denen man das sofort sehen kann?

14.11.2007, 17:40

Airblader

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Der Satz "ich kann es nicht lösen" bedingt ja nicht, dass es keine NS gibt. Aber es ist ein gutes Indiz.

Ansonsten müsstest du argumentieren:

Für x > 1 ist ln(x) > 0 und ln(x) < x. Damit ist x - ln(x) > 0.
Für x = 1 ist ln(x) = 0, also: 1 - 0 > 0.
Für 0 < x < 1 ist ln(x) < 0. Also ist x - ln(x) > x > 0.
Für x < 0 ist die Funktion nicht definiert.

Damit kann keine NS existieren (auf |R). Still und heimlich setzt du natürlich Stetigkeit voraus.

air

14.11.2007, 17:40

HabNeFrage

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ok, dann versuche ich jetzt an diesen extrempunkt aus dem graphen von Airblader zu kommen:

f'(x)=-1/x
0=x^-1

wie komme ich da an das x?

14.11.2007, 17:41

Airblader

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Deine Ableitung ist falsch.

Edit: Bitte jmd übernehmen, ich muss weg Wink

air

14.11.2007, 17:43

tigerbine

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Mach ich

14.11.2007, 17:43

tigerbine

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RE: Zwischenfrage

Zitat:

Original von tigerbine

Hattet ihr schon die Ableitung?

14.11.2007, 17:45

HabNeFrage

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RE: Zwischenfrage

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Original von tigerbine

Hattet ihr schon die Ableitung?

ja natürlich

14.11.2007, 17:50

tigerbine

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RE: Zwischenfrage
Gut, dann bilden wir mal die Ableitungen (hattet ihr hier schon, oder ?). Ich habe ja in 2 Funktionen aufgeteit. Nenn wir sie g und h. Schauen wir uns auch die Defintionsmengen an.

$\begin{eqnarray*} g(x)=x , D_g = \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=\ln(x), D_h = \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Soweit klar?

14.11.2007, 17:51

HabNeFrage

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ups die ableitung heisst ja so:
f'(x)=1+x^-1

und dann kriege ich auch (1|1) als extrempunkt raus.
aber sollte das nicht nach f''(x)=-1 ein hochpunkt sein?!

mal eben zur kontrolle: f''(x)=-1x^-2 oder?

14.11.2007, 17:52

HabNeFrage

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RE: Zwischenfrage

Zitat:

Original von tigerbine
Gut, dann bilden wir mal die Ableitungen (hattet ihr hier schon, oder ?). Ich habe ja in 2 Funktionen aufgeteit. Nenn wir sie g und h. Schauen wir uns auch die Defintionsmengen an.

$\begin{eqnarray*} g(x)=x , D_g = \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=\ln(x), D_h = \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Soweit klar?

14.11.2007, 17:53

tigerbine

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Ok. Sind g und h streng monoton steigende Funktionen?

ich rechne derweil deine f-Sachen nach.

14.11.2007, 17:57

HabNeFrage

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Zitat:

Original von tigerbine
Ok. Sind g und h streng monoton steigende Funktionen?

ich rechne derweil deine f-Sachen nach.

also g nicht da es ja eine Gerade ist und h auch nicht oder?
(streng monoton steigend heisst doch dass der graph parabelartig steigt oder?)

14.11.2007, 18:00

tigerbine

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streng monoton steigend
Nein, es heißt folgendes

Aus $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ folgt immer $\begin{eqnarray*} g(x_1) < g(x_2) \end{eqnarray*}$ . Analog mit h.

gilt das für g und h?

14.11.2007, 18:02

HabNeFrage

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achso ja dann gilt es für beide

14.11.2007, 18:05

tigerbine

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Ok. Nun fragen wir uns einmal, wie "schnell" sie steigen. Die gerade ja immer konstant mit 1. Steigt h nun langsamer oder schneller? Oder beides und dann wo (-A> Intervalle). Augenzwinkern

14.11.2007, 18:07

HabNeFrage

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ähm darf ich nur mal kurz fragen wozu ich das brauche? also ich finds echt nett das du das mit mir hier so schritt für schritt durchgehst nur ich weis nicht genau worauf du hinaus willst ..

14.11.2007, 18:14

tigerbine

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Einen Alternativweg um zu zeigen, dass es keine Nullstelle gibt. Manchmal lösen sich Nullstellen Probleme nicht dadurch, dass man Ableitungen bestimmt und dann Extremstellen, da das auch wieder Nullstellen Probleme sind. Wir wollen erklären, warum der Graph von h immer unter dem von g verläuft. Siehe bild am Anfang.

14.11.2007, 18:19

HabNeFrage

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achso, ja es ist so ich lerne gerade für eine klausur die ich morgen auch noch schreibe .. also kannst du mir vielleicht eben deinen weg kurz erklären? damit ich noch ein bisschen zeit für weitere aufgaben habe^^

14.11.2007, 18:23

HabNeFrage

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aber mal eben eine generelle frage zu nullstellen bei natürlichen logarithmusfunktionen:
gibt es überhaupt (y)nullstellen? oder sind die nullstellen bei diesen funktionen immer an einem punkt auf der x-achse gemeint? ich glaube nämlich mal gelesen zu haben dass die y-achse immer die asymptote des graphen ist .. kann das?

14.11.2007, 18:24

tigerbine

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Korrigiert.
Ich muss jetzt mal was essen. Hier deine Ableitungen. Ich schreibe Dir aber gegen 19.00 noch eine Erklärung des Alternativwegs.

Zitat:

Original von HabNeFrage

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1-x^{-1} \end{eqnarray*}$

, aber der Extrempunkt ist falsch. $\begin{eqnarray*} f'(1) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

mal eben zur kontrolle:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=+x^{-2} \end{eqnarray*}$

14.11.2007, 18:40

HabNeFrage

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hmm es kommt bei mir schon wieder etwas unlogisches heraus :/

f'(x)=1-1/x=1+x^(-1)
0=1+x^(-1)
-1=x^(-1) |-1ste wurzel
x=-1

14.11.2007, 19:12

tigerbine

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Variante 1
Aus Zeitmangel meinerseits, eine längere Antwort. Nun ersteinmal zur eingesellten Aufgabe. Hat f Nullstellen oder g und h Schnittpunkte?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-\ln(x),~D_f=\mathbb R^+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 1-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0 \end{eqnarray*}$

Die Funktion f ist sowohl fallend als auch steigend, da die ableitung neg. und positive Werte annimmt. Sie ist jedoch nur linksgekrümmt, da die zweite Ableitung strikt positiv ist. Das Minimum von f liegt bei

$\begin{eqnarray*} 0 = 1 - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1) = 1 \end{eqnarray*}$

Somit besitzt die Funktion f keine Nullstellen.

14.11.2007, 19:21

HabNeFrage

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ok klingt alles logisch danke, nur eine frage noch: was sagt mir dass der graph nicht im x=neg bereich anfängt (nur eine linkskurve aber trotzdem nullstellen)?

14.11.2007, 19:23

tigerbine

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Variante 2
$\begin{eqnarray*} g(x)=x , D_g = \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=1 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=\ln(x), D_h = \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h'(x)=\frac{1}{x} > 0 \end{eqnarray*}$

Die Funktionen g unh h sind streng monoton steigend., denn ihre Ableitungen sind für alle x in der Defintionsmenge größer als 0. Untersuchen wir den linken Rand der Defintionsmenge

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~g(x) = g(0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~h(x) =\lim_{x \to 0}~\ln(x) =-\infty \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} x \in ]0,1] \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} g(x) >0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Somit gilt dort $\begin{eqnarray*} h(x) < g(x) \end{eqnarray*}$

Es ist also h(1) < g(1) (*) . Nun ist im Weiteren, also im Intervall [1, +oo[

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = h'(x) < g'(x) = 1 \end{eqnarray*}$

D.h. die Funktion h wächst langsamer wie die Funktion g. Mit (*) folgt dann, dass der Graph von h im Definitionsbereich immer unterhalb des Graphen von g verläuft. Somit gibt es keine Schnittpunkte.

14.11.2007, 19:26

tigerbine

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Zitat:

Original von HabNeFrage
aber mal eben eine generelle frage zu nullstellen bei natürlichen logarithmusfunktionen:
gibt es überhaupt (y)-Nullstellen?

Mit Nullstellen einer Funktion sucht man nach x-Werten, für die gilt y=f(x)=0. Die logarithmus-Funktionen haben diese Stelle bei x=1.