Gleichheit von Mengen beweisen

14.11.2007, 17:28

Sythus

Gleichheit von Mengen beweisen

Hallo Leute,

ich versuche mich grad auf eine Vorprüfung vorzubereiten und ich habe noch ne Woche Zeit ^^ - wie ich das sehe wartet noch sehr viel Arbeit auf mich.

Folgende Gleichheit muss bewiesen werden.
Unten seht ihr meinen Ansatz in beide Richtungen.
Ist nicht viel ich weiß, aber eigentlich geht aus meinen Ausführungen ja schon hervor das die beiden Mengen nicht gleich sind.
Nun frage ich mich wie ich das Mathematisch ausdrücken soll.
So das man sieht -AHA, die Mengen sind aus dem und dem Grund nicht gleich.

Wenn jemand einen allgemeinen Tipp hätte wie man an die meisten Sachen herangeht wäre ich sehr dankbar.

$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\setminus C = (A \setminus B) \setminus C \end{eqnarray*}$

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Sei $\begin{eqnarray*} x\in (A \cap B)\setminus C \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$

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Sei $\begin{eqnarray*} x\in (A\setminus B)\setminus C \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

14.11.2007, 17:38

tmo

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sicher, dass du genau das zeigen sollst? denn das gilt gar nicht.

gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C = \emptyset \end{eqnarray*}$

14.11.2007, 17:46

Sythus

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Ich soll beweisen, ob die obige Äquivalenz der beiden Mengen stimmt oder nicht.

Ich würd das gerne Mathematisch ausdrücken, das die Mengen ungleich sind ist mir klar. Und Gegenbeispiele gibt es genug. Doch wie drück ich es Allgemein aus, ohne ein Beispiel.

So wie ich die Gleichheit von 2 Mengen allgemein beweise, so würde ich auch gerne die Ungleichheit allgemein beweisen.

14.11.2007, 17:55

Sythus

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Ich versuche halt irgendwie das Beweise führen in der Mathematik zu lernen und scheiter meistens schon an der Schreibweise.

Du hast mir zwar ein Gegenbeispiel gezeigt, aber an meiner Ausführung erkennt man das doch auch schon oder?
Das die Gleichheit der beiden Mengen einfach nich gelten kann.

Ich frage mich nun wie ich, wenn ich Klausur schreibe das ganze so auf Blatt kriege das da logisch steht, das die beiden Mengen nicht gleich sind.

14.11.2007, 17:55

tmo

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die ungleichheit kannst du aber nicht allgemein beweisen, denn es gibt sicher beispiele, für die diese gleichung gilt.

ein gegenbeispiel genügt jedoch, um zu zeigen, dass diese aussage im allgemeinen falsch ist.

das einzige was du noch untersuchen könntest, sind bedingungen dafür, dass diese gleichung gilt.

14.11.2007, 18:07

Sythus

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Okay danke,

stimmt jetzt wo dus sagst ist es logisch ^^.

Also wenn ich nun schreibe

$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\setminus C = (A \setminus B) \setminus C \end{eqnarray*}$ gilt nicht,
da wenn $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C=\emptyset \end{eqnarray*}$ die Gleichheit nicht gilt.

dann ist es damit bewiesen? smile

Wenn man nun eine Gleichung hat, wo man nicht direkt sieht das sie nicht für die allgemeinheit gilt - wie kommt man dann darauf?
Man versucht von links auf rechts zu schließen und dann von rechts auf links und wenn mans ins stocken gerät, was dann?

15.11.2007, 14:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sythus
Ich soll beweisen, ob die obige Äquivalenz der beiden Mengen stimmt oder nicht.

Mengen sind nicht äquivalent! Wenn, dann sind sie gleich. Aussagen können äquivalent sein.

Zitat:

Original von Sythus
Wenn man nun eine Gleichung hat, wo man nicht direkt sieht das sie nicht für die allgemeinheit gilt - wie kommt man dann darauf?

Man kann sich z.B. ein paar Beispiele ausdenken und schauen, ob die Behauptung dafür gilt oder nicht.

15.11.2007, 14:31

Airblader

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Zitat:

Original von Sythus
dann ist es damit bewiesen? smile

Nein, es ist widerlegt - aber das willst du ja Augenzwinkern

Ist auch klar:
Die Aussage ist ja: "Für alle Mengen ... gilt ...".

Wenn es für eine(!) nicht gilt, dann stimmt die Aussage nicht.

air

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