Cauchyfolge

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MaRiA Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyfolge
Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe und finde einfach keinen Ansatz. Beweisen Sie mit Hilfe der Definition, dass die durch
definierte Folge eine Cauchyfolge ist. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge mit Hilfe der Rechenregeln für konvergente Folgen.

Den Grenzwert zu Berechnen kriege ich bestimmt noch hin, aber wie kann ich beweisen, dass die Folge eine Cauchyfolge ist? Ich weiß nicht, wie ich überhaupt anfangen soll

Bin dankbar für jede Hilfe....
Teddy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchyfolge
von epsilon schon gehört?
Angantyr Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen (wenn ich mich nicht täusche, ist es aber mit der Umkehrung heikel). Das kannst du mit Epsilon abschätzen, auf jeden Fall gilt



also ist die Folge konvergent und es folgt: ist eine Cauchyfolge.
MaRiA Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich glaube ich muss anhand der folgenden definition beweisen, dass es sich hierbei um eine cauhyfolge handelt:

Eine Folge heißt Cauchyfolge, wenn es zu jedem Epsilon>0 einen Index so gibt, dass für alle stets

also ich habe mal folgendes gemacht:



wie komme ich jetzt weiter? bzw. bin ich überhaupt auf dem richtigen weg?
MaRiA Auf diesen Beitrag antworten »



es gilt: für alle

Somit ist die Summe von |\frac{1}{2m²} - \frac{1}{2n²}| + |m²+n²| kleiner als Epsilon

kann mir das jemand bestätigen bzw. berichtigen?
Angantyr Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es persönlich so machen, auf eine etwas allgemeinere Art:



ist offensichtlich konvergent, also gilt .

und für gilt doch dann ( Dreiecksungleichung )



weil ja wegen der Definition einer Folge gilt:

, und
,

Also hast du bewiesen, dass es eine Cauchyfolge ist.
 
 
MaRiA Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Angantyr

also gilt .


wenn du mir noch erklären würdest, was und bedeutet, wäre ich dir sehr dankbar. den rest kann ich nämlich nachvollziehen. danke schonmal
Teddy Auf diesen Beitrag antworten »

Formeleditor: Symbole mal anklicken! Hast du doch schon gemacht.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaRiA
also ich habe mal folgendes gemacht:




Ich weiss nicht, was du da gerechnet hast, aber soweit ich das sehen kann, ist das abenteuerlich falsch. Einsetzen ergibt



Bring dies nun auf den gleichen Nenner und multipliziere im Zaehler (und bitte NUR im Zaehler!) aus. Dann solltest du schon auf etwas ein wenig leichter verdauliches stossen...
Namárie Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Ist zwar schon echt alt der Thread, aber ich versuche mal mein Glück!



So und nun?

Liebe Grüße
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Namárie Auf diesen Beitrag antworten »

Hey cool smile Danke für die schnelle Antwort smile !!
dotdotdot Auf diesen Beitrag antworten »

hallihallo, ich stehe vor einem ähnlichen problem, hätte dazu aber die frage, was genau das epsilon ist??
ich mein, in einem metrischen raum an und für sich denk ich, wird es eine art abstandsdefinition sein, ein bereich um ein intervall herum oderso..

aber was bedeutet das genau bei cauchy-folgen?????
blick da absolut nicht durch...
vielen dank!
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