Eigenwerte orthogonaler Matrizen

14.11.2007, 19:00

Kulli

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Eigenwerte orthogonaler Matrizen

Hallo ihr,

ich hab ein Beweisproblem. Wie kann ich zeigen, dass alle Eigenwerte von orthogonalen Matrizen im Komplexen auf dem Einheitskreis $\begin{eqnarray*} |z|= 1 \end{eqnarray*}$ ?
Ich kenne nur den Weg über das charakteristische Polynom, um die Eigenwerte zu bestimmen. Aber das scheint hier nicht vel zu bringen.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

14.11.2007, 20:43

Mazze

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Betrachte mal das Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} <Av,Av> \end{eqnarray*}$

wobei v ein Eigenvektor ist und A orthogonal.

14.11.2007, 22:35

Kulli

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Soweit ich weiß ist $\begin{eqnarray*} <Av,Av> = <v,v> \end{eqnarray*}$ . Und was sagt mir das?

14.11.2007, 22:56

kiste

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es ist auch $\begin{eqnarray*} <\lambda v, \lambda v> \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 07:31

Kulli

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Also muss $\begin{eqnarray*} |\lambda | = 1 \end{eqnarray*}$ sein. Lieg ich da richtig?
Und das gilt nur für orthogonale Matrizen?

15.11.2007, 10:29

Mazze

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Zitat:

Also muss $\begin{eqnarray*} |\lambda | = 1 \end{eqnarray*}$ sein. Lieg ich da richtig?

Ja das ist richtig, aber bewiesen hast Du es noch nicht. Du musst lediglich noch

$\begin{eqnarray*} <Av,Av> = <v,v> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <\lambda v, \lambda v> \end{eqnarray*}$

zusammen basteln. Denk dran das <x,y> hier das komplexe Skalarprodukt meint.

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15.11.2007, 13:49

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mazze
zusammen basteln. Denk dran das <x,y> hier das komplexe Skalarprodukt meint.

Das ist egal. Die Behauptung gilt auch im Reellen. Ich denke sogar, dass hier das Reelle gemeint ist, denn sonst wäre von unitären Matrizen die Rede.

15.11.2007, 18:59

Mazze

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Zitat:

Das ist egal. Die Behauptung gilt auch im Reellen. Ich denke sogar, dass hier das Reelle gemeint ist, denn sonst wäre von unitären Matrizen die Rede.

Natürlich ist das egal, aber es werden laut Eingangspost

Zitat:

orthogonalen Matrizen im Komplexen

betrachtet und auch wenn für orthogonale Matrizen beide Skalarprodukte zusammenfallen müsste man formal korrekt das komplexe Ansetzen.

15.11.2007, 20:41

WebFritzi

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Jepp. Habe mal wieder zu schnell gelesen.

11.05.2008, 15:24

Mampf

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Warum ist denn <Av,Av> = <v,v>?

11.05.2008, 18:27

WebFritzi

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Wie sind denn bei dir orthogonale Matrizen definiert?

13.05.2008, 19:55

Mampf

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ja habs verstanden. sind ja orthogonale abbildungen, die die länge beibehalten..

31.01.2010, 20:06

Anne91

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kann mir das mal bitte einer erklären? bitte. verwirrt

verwirrt

31.01.2010, 20:27

tigerbine

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WAS möchtest du erklärt haben. WAS kannst du nicht nachvollziehen?

31.01.2010, 20:40

Anne91

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ich versteh nicht was <Av,Av>=<v,v> bedeutet beziheungsweise wo ihr das hernimmt und wieso man da auf $\begin{eqnarray*} <\lambda v,\lambda v> \end{eqnarray*}$ kommen soll. was zeigt mir das dann??

sry ich weiß das ich dich nerve aber ich muss irgendwie die hälfte der übungsserie schaffen sonst werde ich nicht zur prüfung zugelassen

31.01.2010, 20:44

tigerbine

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Es nervt mich nur, dass ich keine Initiative von dir sehe. Nicht, dass du Dinge noch nicht weißt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} <Av,Av>=<v,v> \end{eqnarray*}$ (*)

Was soll es wohl bedeuten? Hier steht dass die beiden Skalarprodukte identisch sind. Viel interessanter ist die Frage, warum das so ist. Es hilft, sich zu erinnern, dass A orthogonal ist und die Definition des http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...Matrizenprodukt

Also, warum gilt (*)? Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2010, 20:52

Anne91

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entschuldige echt ich will dich nicht nerven. ich werd versuchen mich zu bessern.

also ich hab zwar die defintion net im hefter gefunden aber bei wiki stand diese eigenschaft von orthogonalen matrizen:
Durch eine Multiplikation mit Q ändert sich die euklidische Länge eines Vektors nicht.
könnte das was damit zu tun haben

31.01.2010, 20:57

tigerbine

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Das wollen wir doch gerade zeigen. Da nützt es mir doch nichts, wenn du wiki zitierst. unglücklich

unglücklich

Wir haben im anderen Thread doch schon über die Eigenschaften gesprochen... Wie habt ihr orthogonale Matrizen definiert. Folgen danach noch Lemmatas? Das darfst du benutzen, sonst nichts. Andere Dinge musst du eben erst zeigen.

Wiki bietet eine Auswahl an Definitionen Der Fischer (mein empfohlenes Buch) nimmt die erste Eigenschaft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2010, 21:18

Anne91

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gut gefunden.

als Definition:
Eine Basis $\begin{eqnarray*} \left(b_1, b_2, b_3\right) \end{eqnarray*}$ heißt orthogonal bezüglich einer Bilinearform o, falls für alle $\begin{eqnarray*} i\neq j\in \left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} o\left(b_i, b_j\right)= 0 \end{eqnarray*}$ . Falls zusätzlich für jedes $\begin{eqnarray*} i\in \left\{ 1,...,n\right\} o\left(b_i,b_i\right) \end{eqnarray*}$ gilt, dann heißt die Basis orthonormal.

So, als lemma und so haben wir:
1. Sei o eine Bilinearform. Dann gilt: Ist $\begin{eqnarray*} \left(b_1,..., b_n\right) \end{eqnarray*}$ eine orthogonale Basis, so ist die Gramsche Matrix von o diagonal. Ist $\begin{eqnarray*} \left(b_1,..., b_n\right) \end{eqnarray*}$ eine orthonormale Basis, so ist die Gramsche Matrix von o gleich Id.
2. Es gilt:
(a) $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ eine orthogonale Basis $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die Bilinearform ist symmetrisch.
(b) $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ eine orthonormale Basis $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die Bilinearform ist symmetrisch und positiv definit (und ist deswegen ein Skalarprodukt).
3. o sei eine Bilinearform auf einem Vektorraum V der Dimension n. Es gibt genau dann eine orthonormale Basis, wenn die Bilinearform ein Skalarprodukt ist.
4. Es sei (V,<,>) ein Euklidscher Vektorraum. Sei $\begin{eqnarray*} \left(b_1,..., b_n\right) \end{eqnarray*}$ eine orthonormale Basis. Dann gilt: die Koordinaten von beliebiges $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ sind gleich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} <b_1,v> \\ ... \\ <b_n,v> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

So das müsste es glaube schon gewesen sein.

31.01.2010, 21:24

tigerbine

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Manchmal frage ich mich, ob ich in einer anderen Sprache schreibe. Wir beschäftigen uns mit orthogonalen Matrizen und du lieferst mir die Definition einer orthogonalen Basis. Also schlage bitte noch das richtige nach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2010, 21:34

Anne91

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sorry bin schon seit über 28 stunden wach.

Solche Matrizen $\begin{eqnarray*} A\in Mat(n,n) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} A^{t}A = Id \end{eqnarray*}$ heißen orthogonale matrizen

31.01.2010, 21:37

tigerbine

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Dann vielleicht mal schlafen? Schläfer

Schläfer

Ok, und nun benutz das um zu zeigen

$\begin{eqnarray*} <Av,Av> =.... = <v,v> \end{eqnarray*}$

31.01.2010, 21:43

Anne91

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Ist Idv = v?

31.01.2010, 21:43

tigerbine

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Was sonst? Aber nun setzt doch einfach mal ein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2010, 21:47

Anne91

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gut dann hätt ich jetzt
$\begin{eqnarray*} <Av,Av> = <AA^tv,AA^tv> = <Idv,Idv> = <v,v> \end{eqnarray*}$

31.01.2010, 21:51

Anne91

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und kann ich da jetzt einfach
$\begin{eqnarray*} <v,v> = <\lambda v,\lambda v> \end{eqnarray*}$ setzen?

31.01.2010, 21:53

tigerbine

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Was machst du denn jetzt schon wieder. Du kannst da doch nicht einfach ein A^T einschieben. Du sollst nur die Definitionen benutzen. Tränen

Tränen

$\begin{eqnarray*} <Av,Av> = ... \end{eqnarray*}$

Anwenden des Skalarprodukts.

$\begin{eqnarray*} = ... = \end{eqnarray*}$

Anwenden der Rechenregeln zum Transponieren

$\begin{eqnarray*} = ... = \end{eqnarray*}$

Assoziativgesetz (Klammen setzen)

$\begin{eqnarray*} = ... = \end{eqnarray*}$

benutzen, dass A orthogonal ist.

$\begin{eqnarray*} = ... = \end{eqnarray*}$

Anwenden des Skalarprodukts

$\begin{eqnarray*} ... = <v,v> \end{eqnarray*}$

Also bitte fülle den Lückentext nun aus.

31.01.2010, 21:59

Anne91

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verwirrt

also
$\begin{eqnarray*} <Av,Av> = (Av)^t = A^t v \end{eqnarray*}$
was meinst du mit klammer setzen?

steh ich aufm schlauch?

sorry.

31.01.2010, 22:04

tigerbine

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böse

Mein Gott, ich habe Skalarprodukt doch verlinkt. Du wirst doch noch eine Definition umsetzen können. Und vor der Klammern kamen ja noch mehr Zwischenschritte. Warum schreibe ich es wohl so ausführlich? Tränen

Tränen

$\begin{eqnarray*} <Av,Av> = ... \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...Matrizenprodukt

Also, was möchte ich hören? Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2010, 22:09

Anne91

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áchso gut das ist die übermüdung.

$\begin{eqnarray*} <Av,Av> = (Av)^t Av \end{eqnarray*}$ ???

31.01.2010, 22:12

tigerbine

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Endlich. Und nun arbeite den Rest ab.

31.01.2010, 22:12

Anne91

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dann haben wir
$\begin{eqnarray*} A^t v A v = (A^tA)vv = Idvv = <v,v> \end{eqnarray*}$ ???

31.01.2010, 22:15

der_eine

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Sry aber da wir dir gleiche Aufgabe haben platz ich mal so dazwischen.

Studierst du in Jena und hast den Matveev?

Wenn ja musst du dass nicht zeigen.
Wir haben orthogonale Endomorphismen f so definiert:
<u,v>=<f(u),f(v)>

also ist doch insbesondere <v,v>=<Av,Av> nicht wahr?

und da Av=µv

<v,v>=<Av,Av>=<µv,µv>

Doch wie schlussfolgern wir nun |µ|=1? Weil <Av,Av>=1?

Btw... ich kann mir garnicht so recht vorstellen wie eine Matrix, also eine Funktion, orthogonal sein kann. also die Länge 1 haben kann.
Allgemein eine Länge haben kann.

31.01.2010, 22:16

Anne91

Auf diesen Beitrag antworten »

ja danke.
wie hast du es sonst gemacht?

31.01.2010, 22:17

Anne91

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aber moment.
es geht doch um matrizen und nicht um abbildungen oder?

31.01.2010, 22:18

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es miteinander identifizieren. Aber bitte, mach die Schritte nun einmal, du willst doch was lernen.

@ der eine: ihr könnt dann ja im eigentlichen Aufgaben Thread zusammen weitermachen.

31.01.2010, 22:19

Anne91

Auf diesen Beitrag antworten »

na hab ich doch gemacht da oben oer nicht?

31.01.2010, 22:20

tigerbine

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Nein, denn du hast nicht richtig transponiert. Zitiere meinen Lückentext und füge dort die Lösungen ein. Danke.

31.01.2010, 22:25

Anne91

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Zitat:

Original von tigerbine
Was machst du denn jetzt schon wieder. Du kannst da doch nicht einfach ein A^T einschieben. Du sollst nur die Definitionen benutzen. Tränen

Tränen

$\begin{eqnarray*} <Av,Av> = ... \end{eqnarray*}$

Anwenden des Skalarprodukts.

$\begin{eqnarray*} = (Av)^tAv = \end{eqnarray*}$

Anwenden der Rechenregeln zum Transponieren

$\begin{eqnarray*} = A^tv^tAv = \end{eqnarray*}$

Assoziativgesetz (Klammen setzen)

$\begin{eqnarray*} = (A^tA)v^tv = \end{eqnarray*}$

benutzen, dass A orthogonal ist.

$\begin{eqnarray*} = Idv^tv = \end{eqnarray*}$

Anwenden des Skalarprodukts

$\begin{eqnarray*} ... = <v,v> \end{eqnarray*}$

Also bitte fülle den Lückentext nun aus.

besser?

31.01.2010, 22:26

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Anne91
[quote]Original von tigerbine
Was machst du denn jetzt schon wieder. Du kannst da doch nicht einfach ein A^T einschieben. Du sollst nur die Definitionen benutzen. Tränen

Tränen

$\begin{eqnarray*} <Av,Av> = ... \end{eqnarray*}$

Anwenden des Skalarprodukts.

$\begin{eqnarray*} = (Av)^tAv = \end{eqnarray*}$

Bis dahin stimmt es. Nun schlage nach, wie man korrekt transponiert. Das ist wichtig.

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