Konvergenz

14.11.2007, 20:05

josef1

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Konvergenz

Guten Abend allerseits,

Ich zerbreche mir seit Stunden an der folgenden Aufgabe den Kopf... Habe aber noch nicht einmal einen Ansatz gefunden....

Bin also richtig verzweifelt

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge. Seien $\begin{eqnarray*} (b_n) = (a_2n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (c_n)=(a_2n-1) \end{eqnarray*}$

Zu beweisen ist:

1. Wenn $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ beide gegen a konvergieren, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegen a.
2. Wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergent ist, dann sind auch $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ konvergent.
3. Es gibt eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ konvergent sind, aber $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert.

Ich bedanke mich im Voraus für jede Hilfe

14.11.2007, 22:27

josef1

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RE: Konvergenz
kann mir keiner dabei helfen?

14.11.2007, 22:29

josef1

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RE: Konvergenz
geschockt

geschockt

da sehe ich gerade, dass mir beim Tippen ein Fehler unterlaufen ist. es soll natürlich heißen:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge. Seien $\begin{eqnarray*} (b_n) = (a_2n) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (c_n)=(a_2n-1) \end{eqnarray*}$

14.11.2007, 22:31

josef1

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von josef1
geschockt

geschockt

da sehe ich gerade, dass mir beim Tippen ein Fehler unterlaufen ist. es soll natürlich heißen:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge. Seien $\begin{eqnarray*} (b_n) = (a_2n) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (c_n)=(a_2n-1) \end{eqnarray*}$

tut mir leid, hat wieder nicht so richtig geklappt: hoffe es klappt jetzt:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge. Seien $\begin{eqnarray*} (b_n) = (a_2n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c_n)=(a_(2n-1)) \end{eqnarray*}$ [/quote]

14.11.2007, 22:33

josef1

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ich kenne mich mit dem latex nicht so gut aus und es geht einfach nicht unglücklich

unglücklich

deswegen drücke ich das mal folgendermaßen aus:

(b (klein n) ) = (a (klein 2n))
(c (klein n) ) = (a (klein 2n-1))

14.11.2007, 22:34

AD

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Bevor es nochmal schiefgeht:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge. Seien $\begin{eqnarray*} (b_n) = (a_{2n}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (c_n)=(a_{2n-1}) \end{eqnarray*}$

Geschweifte Klammern {...} bei mehrteiligen Indizes verwenden!

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14.11.2007, 22:39

josef1

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achso, ok. danke! hast für mich vielleicht auch noch einen tipp für die aufgabe smile

smile

15.11.2007, 11:10

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von josef1
1. Wenn $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ beide gegen a konvergieren, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegen a.

Nimm an, die Folge (a_n) würde nicht gegen a konvergieren. Die Definition eines Grenzwertes wäre also nicht erfüllt. Führe das zum Widerspruch zur Konvergenz der Folgen (b_n) und (c_n). Ist etwas Schreibarbeit, aber machbar.

Und bitte nicht pushen. unglücklich

unglücklich

Wir haben irgendwann auch mal Feierabend. smile

smile

15.11.2007, 12:38

josef1

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von klarsoweit

Nimm an, die Folge (a_n) würde nicht gegen a konvergieren. Die Definition eines Grenzwertes wäre also nicht erfüllt. Führe das zum Widerspruch zur Konvergenz der Folgen (b_n) und (c_n). Ist etwas Schreibarbeit, aber machbar.

also es gilt:

$\begin{eqnarray*} (a_n) < (c_n) < (b_n) \end{eqnarray*}$

Eine Definition besagt:
Konvergieren $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen a und gilt: $\begin{eqnarray*} (a_n) \leq (c_n) \leq (b_n) \end{eqnarray*}$ , so konvergiert auch $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ gegen a.

Kann ich das jetzt anhand dieser Definition so begründen: wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen a konvergiert, dann kann auch $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen a konvergieren? oder bin ich auf dem Holzweg? verwirrt

verwirrt

15.11.2007, 12:49

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von josef1
also es gilt:

$\begin{eqnarray*} (a_n) < (c_n) < (b_n) \end{eqnarray*}$

So?

verwirrt

Wo steht denn das geschrieben?

Zitat:

Original von josef1
Eine Definition besagt:
Konvergieren $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen a und gilt: $\begin{eqnarray*} (a_n) \leq (c_n) \leq (b_n) \end{eqnarray*}$ , so konvergiert auch $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ gegen a.

Das ist keine Definition, sondern ein Satz. In diesem Fall bringt der aber nichts.

Zitat:

Original von josef1
wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen a konvergiert, dann kann auch $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen a konvergieren?

Im Prinzip läuft es auf sowas hinaus, wobei man auch noch die Folge (b_n) einbeziehen muß. Das muß man mal ganz formal durchziehen. Und das ist ein bißchen Schreibarbeit.

15.11.2007, 13:11

josef1

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von josef1
also es gilt:

$\begin{eqnarray*} (a_n) < (c_n) < (b_n) \end{eqnarray*}$

So?

verwirrt

Wo steht denn das geschrieben?

also ich habe mir gedacht:

es gilt ja: $\begin{eqnarray*} b_n = a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n = a_{2n-1} \end{eqnarray*}$

dann gilt doch: $\begin{eqnarray*} a_n < a_{2n-1} < a_{2n} \end{eqnarray*}$ und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} a_n < c_n < b_n \end{eqnarray*}$

die Behauptung ist ja: Wenn $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ gegen a konvergieren, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen a.

Kann man das dann nicht so beweisen: Sei $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann liegen fast alle $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und fast alle $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \end{eqnarray*}$
Dann müssen auch alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \end{eqnarray*}$ liegen und es folgt, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen a konvergiert.
Wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen a konvergieren würde, dann könnte auch $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen a konvergieren, da [/latex] c_n = a {2n-1}[/latex] ist und somit ein Vielfaches (?) von a darstellt. Das gleiche gilt auch für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , denn es gilt $\begin{eqnarray*} b_n = a {2n} \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen a konvergiert, dann kann auch das Vielfache von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen a konvergieren? Tut mir leid, wenn ich das jetzt etw. unübersichtlich und unsortiert hingeschrieben habe

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

15.11.2007, 13:12

josef1

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unglücklich

tut mir leid, wegen dem latex. klappt einfach nicht, auch wenn ich mir große Mühe gebe

15.11.2007, 13:31

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von josef1
also ich habe mir gedacht:

es gilt ja: $\begin{eqnarray*} b_n = a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n = a_{2n-1} \end{eqnarray*}$

dann gilt doch: $\begin{eqnarray*} a_n < a_{2n-1} < a_{2n} \end{eqnarray*}$ und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} a_n < c_n < b_n \end{eqnarray*}$

Nöö. Sieht man leicht an der Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von josef1
Kann man das dann nicht so beweisen: Sei $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann liegen fast alle $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und fast alle $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \end{eqnarray*}$
Dann müssen auch alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \end{eqnarray*}$ liegen und es folgt, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen a konvergiert.

Das sieht schon besser aus. Ich würde aber so schreiben:

Seien $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann liegen fast alle $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon_1}(a) \end{eqnarray*}$ und fast alle $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon_2}(a) \end{eqnarray*}$ . Wähle epsilon = max(epsilon_1, epsilon_2). Dann sind also fast alle (b_n) und (c_n) in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ . Da die Folgen (b_n) und (c_n) die Folge (a_n) vollständig abdecken, gilt das also auch für (a_n).

Das wäre dann sogar ein direkter Beweis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.11.2007, 13:37

josef1

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von klarsoweit

Seien $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann liegen fast alle $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon_1}(a) \end{eqnarray*}$ und fast alle $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon_2}(a) \end{eqnarray*}$ . Wähle epsilon = max(epsilon_1, epsilon_2). Dann sind also fast alle (b_n) und (c_n) in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ . Da die Folgen (b_n) und (c_n) die Folge (a_n) vollständig abdeckt, gilt das also auch für (a_n).

Das wäre dann sogar ein direkter Beweis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

super danke smile

smile

dann versuche ich mal anhand dieses beweises direkt den zweiten beweis zu machen. hoffe es klappt:

sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann liegen fast alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ ... ja hier hackts dann schon wieder.... unglücklich

unglücklich

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

15.11.2007, 13:47

josef1

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kann ich denn sagen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge der konvergenten Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist? Denn das würde ja bedeuten, dass wenn latex]a_n [/latex] konvergent ist, auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ konvergent sind und gegen a konvergieren.

15.11.2007, 13:53

klarsoweit

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RE: Konvergenz
Wenn du diesen Satz verwenden darfst, kannst du das so machen.

Ansonsten ist das auch kein Drama:
Wenn fast alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ , dann sind auch fast alle $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ .

15.11.2007, 13:55

josef1

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von klarsoweit

Wenn fast alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ , dann sind auch fast alle $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ .

und somit auch fast alle $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2007, 14:12

josef1

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für den letzten Beweis, hätte ich da ein Bsp:
$\begin{eqnarray*} a_n = -1^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ sind Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$
Alle Glieder der Teilfolge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ sind 1 und alle Glieder der Teilfolge $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ sind -1. somit konvergiert $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen 1 und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ gegen -1. Angenommen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wäre konvergent gegen a. Mit dem Satz: Jede Teilfolge einer konvergenten Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} lim_{an} \end{eqnarray*}$ , müsste folgendes gelten: -1=a=1. Dies ist ein Widerspruch. Somit folgt, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht konvergent ist! Aber wie beweise ich das jetzt allgemein? verwirrt

verwirrt

15.11.2007, 14:16

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von josef1
und somit auch fast alle $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ ?

Ebenso.

Und zum letzten Beweis: mit der Angabe eines Beispiels hast du gezeigt, daß es eine derartige Folge gibt. Punkt, aus, Ende.

15.11.2007, 14:19

josef1

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smile

das freut mich. danke für deine Hilfen. Wink

Wink

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