Komplexe Zahlen (Betrag, Argument,Real-,Imaginärteil)

14.11.2007, 20:39

Megas

Komplexe Zahlen (Betrag, Argument,Real-,Imaginärteil)

Hallo @ all,

Hab diesmal ein Problem mit Komplexen Zahlen, die Aufgabe lautet:

Zitat:

Berechnen Sie Betrag und Argument der komplexen Zahlen
$\begin{eqnarray*} z1 = 3 + \sqrt{3 i} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} z2 = 3 - \sqrt{3 i} \end{eqnarray*}$
und geben Sie deren Polarkoordinatendarstellung an. Berechnen Sie damit Betrag und Argument sowie Real- und Imaginärteil von

a.) $\begin{eqnarray*} z1 * z2 \end{eqnarray*}$
b.) $\begin{eqnarray*} z1 / z2 \end{eqnarray*}$
c.) $\begin{eqnarray*} iz1^6 \end{eqnarray*}$

Jetzt erstmal Betrag + Arg. von z1 =>

$\begin{eqnarray*} |3 + \sqrt{3i}| = \sqrt{3^2 + 3i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Arg( 3 + \sqrt{3i} ) = cos (\alpha) = \frac{3} {\sqrt{3i}} \end{eqnarray*}$

Polarkoordinatendarstellung:
z1 = $\begin{eqnarray*} (3 + \sqrt{3i} ) * (cos (\alpha) + i * sin (\alpha)) \end{eqnarray*}$

Betrag + Arg. von z2 =>

$\begin{eqnarray*} |3 - \sqrt{3i}| = \sqrt{3^2 - 3i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Arg( 3 - \sqrt{3i} ) = cos (\alpha) = \frac{3} {-\sqrt{3i}} \end{eqnarray*}$

Polarkoordinatendarstellung:
z1 = $\begin{eqnarray*} (3 - \sqrt{3i} ) * (cos (\alpha) - i * sin (\alpha)) \end{eqnarray*}$

Ist das erstmal soweit richtig? Betrag und Argument der Aufgabe a tu ich jetzt noch gleich selber versuchen und poste es dann...

15.11.2007, 10:13

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen (Betrag, Argument,Real-,Imaginärteil)

Zitat:

Original von Megas
$\begin{eqnarray*} |3 + \sqrt{3i}| = \sqrt{3^2 + 3i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Arg( 3 + \sqrt{3i} ) = cos (\alpha) = \frac{3} {\sqrt{3i}} \end{eqnarray*}$

Sowohl Betrag als auch Argument sind reelle Zahlen. Insofern sind diese Gleichungen völlig willenlos und daneben. Abgesehen davon ist $\begin{eqnarray*} Arg(3 + \sqrt{3i}) = \alpha \end{eqnarray*}$ , wobei du auch noch zur falschen Winkelfunktion gegriffen hast.

Am besten schaust du dir das ganze nochmal in deinem Script an.

15.11.2007, 13:18

Don Kalleone

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beim Betrag rechnen Sprich Wurzel der KOmplexen zahl fällt i automatisch weg

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3^{2}+ 3} \end{eqnarray*}$

ab dann sollte deine rechnung richtig sein

ps $\begin{eqnarray*} \frac{3}{ \sqrt{3} } = \sqrt{3 } \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 16:36

Megas

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Ok Jungs war gestern wirklich etwas verwirrt, also hier nochmal alles neu da ich das schon etwas daneben gemacht hab wie ich heute gemerkt habe:

$\begin{eqnarray*} |3 + \sqrt{3i}| = \sqrt{3^2 + 3} = \sqrt{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Arg. (3 + \sqrt{3i}) = tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{6} * \pi \end{eqnarray*}$

Polar: $\begin{eqnarray*} \sqrt{12} * ( \frac{3}{\sqrt{12}} + i * \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{12}} = 3 + i * \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

kurz für z2 :
|z2| = $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Arg(z2) = \frac{5}{6} * \pi \end{eqnarray*}$

Polar: $\begin{eqnarray*} 3 - i * \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Ok soweit so gut aber warum steht da jetzt wieder "Berechnen Sie damit Betrag und Argument sowie Real- und Imaginärteil" ? Heisst das ich muss z.B. | z1 * z2| nochmal ausrechnen mit dem bereits errechneten Betrag? Oder sollte ich das im voraus einsetzen damit ich das jetzt direkt ausrechnen kann sprich =>

$\begin{eqnarray*} | z1 * z2 | = \sqrt{12} * \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Edit:

Oder soll ich erstmal z1 * z2 ausrechnen á la

$\begin{eqnarray*} (3 + \sqrt{3i}) * (3 - \sqrt{3i}) = ( 9 - 3i) \end{eqnarray*}$

und davon dann den Betrag?

15.11.2007, 16:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Megas
$\begin{eqnarray*} Arg. (3 + \sqrt{3i}) = tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{6} * \pi \end{eqnarray*}$

Rechnen wir mal nach:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{3} = 0,577 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} * \pi = 0,524 \end{eqnarray*}$
Mir scheint, das ist nicht gleich. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Megas
kurz für z2 :
|z2| = $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Arg(z2) = \frac{5}{6} * \pi \end{eqnarray*}$

Kurz und bündig: falsch

Zitat:

Original von Megas
Oder soll ich erstmal z1 * z2 ausrechnen á la

(3 + \sqrt{3i}) * (3 - \sqrt{3i}) = ( 9 - 3i)

und davon dann den Betrag?

Eher nicht. Du sollst wohl mit der Exponentialdarstellung die jeweiligen Terme ausrechnen.

15.11.2007, 17:11

Megas

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Also das mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}/3 = 1/6 * \pi \end{eqnarray*}$ Ist ja nur die Umrechnung vom Bogen- ins Gradmaß, dachte das soll man so angeben und das hab ich aus ner Tabelle habs net selber erfunden...

Exponentialdarstellung?

Also was mir grad aufgefallen ist, ist dass sowieso das gleiche Ergebnis rauskommt, sprich egal ob ich erst die zwei Zahlen multipliziere und den Betrag ausrechne oder die zwei ausgerechneten Beträge multiplieziere, es kommt $\begin{eqnarray*} \sqrt{12} * \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 19:38

mYthos

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Eine Frage, die (für mich) noch nicht schlüssig beantwortet ist: Ist das Thema für dich nun hinreichend gelöst?

mY+

15.11.2007, 20:06

Megas

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Nein eigentlich noch nicht den ich weiß jetzt immernoch nicht ob

$\begin{eqnarray*} tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{6} * \pi \end{eqnarray*}$

stimmt?!? Ist mir klar dass wenn man das direkt ausrechnet wie "klarsoweit" sagte, jedoch soll das ja von der Zahl her nicht das gleiche darstellen sondern das ist Bogenmaß oder nicht?

15.11.2007, 21:20

mYthos

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Das stimmt so aufgeschrieben (syntaktisch) nicht und die Ausdrücke sind auch nicht gleich! Du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} \tan \alpha = \frac{\sqrt3}{3} \ \rightarrow \ \alpha = \frac{\pi}{6} \ \text{oder: } 30^o \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \arctan \frac{\sqrt3}{3} = \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Das stimmt. Beim Berechnen der komplexen Zahl ist es nunmehr durchaus möglich, sowohl im Grad- als auch im Bogenmaß zu rechnen. Es ändert ja nichts am Winkel bzw. an dem Wert der Winkelfunktion. Du musst nur bei der einmal getroffenen Wahl bleiben und die Winkelfunktionen richtig berechnen.

mY+

15.11.2007, 22:15

Megas

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Gut vielen dank für die Hilfe, hab die Aufgabe nun einigermaßen verstanden und versuch mich weiter an den anderen Aufgaben.

So far,

GreeTz!

15.11.2007, 22:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Megas
kurz für z2 :
|z2| = $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Arg(z2) = \frac{5}{6} * \pi \end{eqnarray*}$

Wie gesagt ist dieses falsch. Hast du das jetzt korrigiert?

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