Kreuzprodukt

17.04.2005, 18:35

aRo

Kreuzprodukt

es sei:

c=a x b.

Wieso ist dann der Betrag von c gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms?!
Wie kann ich mir das denn vorstellen?

naja aber eigentlich ist meine "richtige" frage: Augenzwinkern

wenn ich eine ebene in parameterdarstellung habe kann ich diese auf wie folgt in die Koordinatenform überführen:

1.Ich bilde das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
2.setze die Werte des entstehenden Vektors für x1.x2,x3 ein.
Setze das ganze gleich b.
3.Setze für x1,x2,x3 den Stützpunkt ein, erhalte b.

So, aber wieso funktioniert das?! Wieso erfüllt dann der entstehende Vektor durch das Kp die Gleichung? Der ist doch gar nicht in der Ebene....

Gruß,
aRo

Ps. Wir haben mit dem Kp eigentlich noch gar nicht angefangen, also nicht zu bös mit mir sein *g*

Edit: Titel eingedampft!!
Johko

17.04.2005, 18:58

4c1d

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RE: Fragen zum Kreuzprodukt

Zitat:

Original von aRo

1.Ich bilde das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
2.setze die Werte des entstehenden Vektors für x1.x2,x3 ein.
Setze das ganze gleich b.
3.Setze für x1,x2,x3 den Stützpunkt ein, erhalte b.

So, aber wieso funktioniert das?! Wieso erfüllt dann der entstehende Vektor durch das Kp die Gleichung? Der ist doch gar nicht in der Ebene....

Der entstehende Vektor ist der (ein) Normalenvektor der Ebene (er steht auf allen Vektoren in der Ebene senkrecht - so auch auf den Spannvektoren). In der Koordinatenform $\begin{eqnarray*} ax+by+cz+d=0 \end{eqnarray*}$ ist das gerade der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.04.2005, 19:37

aRo

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hmm...hört sich gut an :-)

aber wieso ist das so? ...

gruß,
aRo

17.04.2005, 19:51

reima

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Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht auf diesen immer senkrecht. Das kannst du ganz leicht selber überprüfen, indem du das Kreuzprodukt u von zwei Vektoren v und w komponentenweise bildest, und dann jeweils das Skalarprodukt von u und v und von u und w berechnest. Du wirst beides mal auf 0 kommen -> die Vektoren sind orthogonal.

Auf die selbe Weise kannst du die Eigenschaft mit der Parallelogrammfläche beweisen. Wenn du die Norm von u bildest, müsstest du auf |v|*|w|*sin(theta) kommen, wobei theta der Winkel zwischen v und w ist. Dieser Term entspricht genau der Fläche des von v und w aufgespannten Parallelogramms.

Wegen der Herleitung der Normalenform: Für alle Punkte X einer Ebene durch den Punkt P mit dem Normalenvektor n gilt:
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} - \vec{p}) \circ \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$
Das heißt, der Verbindungsvektor eines Punktes auf der Ebene und dem Aufpunkt steht senkrecht auf dem Normalenvektor. Durch ausskalieren kommst du dann auf die Normalenform $\begin{eqnarray*} n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 - \vec{p} \circ \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Grüße,
Matthias

17.04.2005, 20:31

kikira

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Zitat:

Original von aRo
hmm...hört sich gut an :-)

aber wieso ist das so? ...

gruß,
aRo

Ich versteh, was du meinst. Genau dasselbe versteh ich dabei nämlich auch nicht.
Ich weiß nicht, wie ich mir das Kreuzprodukt vorstellen soll. Was man da eigentlich genau macht.
Und ich weiß auch nicht, wieso der Betrag des Normalvektors der Flächeninhalt der aufspannenden Vektoren ist.

Vielleicht kann uns das einer erklären. Das würd mich nämlich auch brennend interessieren.

lg kiki

edit:
Reima, deine Erklärung zum Kreuzprodukt ist schon klar. Nur meine Frage wäre, wiesoooooo man das Kreuzprodukt so berechnet und WAS man da eigentlich macht.

17.04.2005, 21:24

reima

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Zitat:

Original von kikira
Ich versteh, was du meinst. Genau dasselbe versteh ich dabei nämlich auch nicht.
Ich weiß nicht, wie ich mir das Kreuzprodukt vorstellen soll. Was man da eigentlich genau macht.

Man sucht einen Vektor, der auf den beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht. Ist $\begin{eqnarray*} \vec{l} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \det(\vec{l}, \vec{a}, \vec{b}) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Also:
$\begin{eqnarray*} \det(\vec{l}, \vec{a}, \vec{b}) = \begin{vmatrix} l_1 & a_1 & b_1 \\ l_2 & a_2 & b_2 \\ l_3 & a_3 & b_3 \end{vmatrix} = l_1(a_2b_3 - b_2a_3) + l_2(a_3b_1 - b_3a_1) + l_3(a_1b_2 - b_1a_2) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} l_1 \\ l_2 \\ l_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a_2b_3 - b_2a_3 \\ a_3b_1 - b_3a_1 \\ a_1b_2 - b_1a_2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} l_1 \\ l_2 \\ l_3 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} a_2b_3 - b_2a_3 \\ a_3b_1 - b_3a_1 \\ a_1b_2 - b_1a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Somit haben wir ein Rezept, wie wir uns einen auf alle Linearkombinationen zweier Vektoren senkrecht stehenden Vektor besorgen.

Zitat:

Und ich weiß auch nicht, wieso der Betrag des Normalvektors der Flächeninhalt der aufspannenden Vektoren ist.

Das ist mehr oder weniger Zufall. Die Herleitung ist etwas trickreich, also aufgepasst:

$\begin{eqnarray*} |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (\vec{a} \times \vec{b}) \circ (\vec{a} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = {a_2}^2{b_3}^2 - 2a_2a_3b_2b_3 + {a_3}^2{b_2}^2 \\ + {a_3}^2{b_1}^2 - 2a_1a_3b_1b_3 + {a_1}^2{b_3}^2 \\ + {a_1}^2{b_2}^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + {a_2}^2{b_1}^2 \\ + {a_1}^2{b_1}^2 + {a_2}^2{b_2}^2 + {a_3}^2{b_3}^2 \\ - ({a_1}^2{b_1}^2 + {a_2}^2{b_2}^2 + {a_3}^2{b_3}^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = {a_1}^2({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) + {a_2}^2({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) + {a_3}^2({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) \\ - ({a_1}^2{b_1}^2 + {a_2}^2{b_2}^2 + {a_3}^2{b_3}^2 + 2a_2a_3b_2b_3 + 2a_1a_3b_1b_3 + 2a_1a_2b_1b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \circ \vec{b})^2 = a^2b^2 - (ab\cos \varphi)^2 = a^2b^2(1 - \cos^2 \varphi) = a^2b^2 \sin^2 \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\vec{a} \times \vec{b}| = a \cdot b \cdot \sin \varphi \ \ \ \textrm{q.e.d.} \end{eqnarray*}$
Dieser Term entspricht wie gesagt der Fläche des von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ aufgespannten Parallelogramms.

Puh. Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt. Hammer

edit: Typo

17.04.2005, 21:37

kikira

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Vielen Dank für die Mühe, Reima. Die Herleitung des Flächeninhalts versteh ich nun, aber nicht, wieso man die Determinante überhaupt so berechnet und warum man da den Normalvektor kriegt. Vielleicht hätt ich dazu sagen sollen, dass ich absolut nix über Matrizen und Determinanten weiß, weil man das in österreichischen Schulen so gut wie nirgends macht.
Daher weiß ich eben schon mal gar nicht, was eine Determinante berechnet und wie man sich die vorstellen soll. Und genau daran scheitert bei mir das Verständnis.
Wie ist man auf das System von Determinanten überhaupt gekommen und wie kann man sich das geometrisch vorstellen?
Wenn man die Determinante berechnet, was vollzieht sich da geometrisch?

lg kiki

17.04.2005, 22:08

4c1d

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Du kannst dir das Kreuzprodukt auch über das Skalarprodukt herleiten : Das Skalarprodukt von jeweils jedem der beiden Vektoren mit dem gesuchten Vektor muss gleich 0 sein. Man erhält ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten, so dass man zwei der Unbekannten (z.B. x und y) durch die dritte (z.B. z) ausdrücken kann. Damit kann man allgemein alle Vektoren berechnen, die senkrecht zu beiden Vektoren stehen. Ein Spezialfall davon (für z wird ein Wert gewählt, so dass der entstehende Vektor möglichst einfach wird) ist dann das Kreuzprodukt.

17.04.2005, 22:18

reima

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Determinanten sind im Grunde "nur" ein Verfahren, um Gleichungssysteme zu lösen. (Ich weiß nicht, ob sie ursprünglich dazu gedacht waren, jedenfalls kann man sie dazu benutzen Augenzwinkern

).

Stell dir vor, du hast folgenes Gleichungssystem, wobei jeweils die x gesucht sind:
$\begin{eqnarray*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \qquad \textrm{(I)} \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \qquad \textrm{(II)} \end{eqnarray*}$

Dann erhältst du beim Lösen bspw.:
$\begin{eqnarray*} a_{22} \cdot \textrm{(I)} - a_{12} \cdot \textrm{(II)}: \ (a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12})x_1 = b_1a_{22} - b_2a_{12} \end{eqnarray*}$

Führt man jetzt folgende Definition ein:
$\begin{eqnarray*} \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du auch für das Gleichungssystem schreiben:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} x_1 & = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} \\ D \cdot x_1 & = D_1 \end{eqnarray*}$

Andererseits:
$\begin{eqnarray*} -a_{21} \cdot \textrm{(I)} + a_{11} \cdot \textrm{(II)}: \ (a_{11}a_{22} + a_{21}a_{12})x_2 & = b_2a_{11} - b_1a_{21} \\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} x_2 & = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} \\ D \cdot x_2 & = D_2 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet:
Für $\begin{eqnarray*} D \not= 0 \end{eqnarray*}$ hat das ursprüngliche Gleichungssystem genau eine Lösung: $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{D_1}{D}; \ x_2 = \frac{D_2}{D} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} D = 0 \end{eqnarray*}$ besitzt das GS entweder

keine Lösung (wenn $\begin{eqnarray*} D_1 = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} D_2 = 0 \end{eqnarray*}$ )
keine eindeutige Lösung, d.h. unendlich viele oder keine Lösung (wenn $\begin{eqnarray*} D = D_1 = D_2 = 0 \end{eqnarray*}$ )

Will man also herausfinden, ob und wenn ja, welche Lösung(en) ein Gleichungssystem besitzt, dann berechnet man die Determinante D.

Das kann man sich zu nutze machen, wenn man die lineare Abhängigkeit von Vektoren untersuchen will (und hier schlagen wir die Brücke zur analytischen Geometrie). Will man wissen, ob $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ lin. abh. sind oder nicht, betrachtet man ja folgende Gleichung auf Lösbarkeit:
$\begin{eqnarray*} k \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zerlegt man die Gleichung in zwei Zeilen, bekommt man wieder ein GS:
$\begin{eqnarray*} k a_1 + l b_1 = 0 \\ k a_2 + l b_2 = 0 \end{eqnarray*}$
Die Hauptdeterminante D dieses GS ist dann:
$\begin{eqnarray*} D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} D \not= 0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ja genau eine Lösung. Und zwar die Triviallösung $\begin{eqnarray*} k = l = 0 \end{eqnarray*}$ . Das heißt, dass sich die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ nur mittels der Triviallösung zum Nullvektor kombinieren lassen. Somit sind die Vektoren linear unabhängig!
Ist $\begin{eqnarray*} D = 0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es unendlich viele Lösungen für das GS (es kann ausgeschlossen werden, dass es keine Lösung gibt, da wir ja wissen, dass die Triviallösung möglich ist), die Vektoren sind also linear abhängig.

Dieses Verfahren kann man auch entsprechend für dreidimensionale Vektoren erweitern. Das spar ich mir an der Stelle aber einfach mal Augenzwinkern

Aber zurück zum Kreuzprodukt. Wir haben ja eine Linearkombination $\begin{eqnarray*} \vec{l} \end{eqnarray*}$ zweier Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ . Diese drei lassen sich auf jeden Fall immer linear zum Nullvektor kombinieren, sie sind also linear abhängig. Im Umkehrschluss wissen wir somit, dass die Determinate der Matrix, die sich aus diesen drei Vektoren zusammensetzt, gleich 0 sein muss. Und schon können wir mit $\begin{eqnarray*} det(\vec{l}, \vec{a}, \vec{b}) = 0 \end{eqnarray*}$ ansetzen.

So, ich hoffe ich habe jetzt für heute genug Verwirrung gestiftet Augenzwinkern

Grüße,
Matthias

19.04.2005, 13:29

kikira

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Vielen, vielen, vielen Dank an euch beide!
Das hast du wirklich supi erklärt, Reima. Sorry, dass ich erst jetzt antworte, aber ich bin erst heut wieder dazu gekommen, on zu gehen.
Jetzt seh ich erst den Zusammenhang. Das ist ja eigentlich eine total einfache Methode, Schnittpunkte und so weiter zu berechnen.
Eigentlich lässt sich dann ja die komplette analytische Geometrie mit Matrizen lösen.

lg kiki

19.04.2005, 14:06

therisen

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Zitat:

Original von kikira
Eigentlich lässt sich dann ja die komplette analytische Geometrie mit Matrizen lösen.

lg kiki

So toll ist das Determinantenverfahren nicht:

Zitat:

keine eindeutige Lösung, d.h. unendlich viele oder keine Lösung

In diesem Fall hast du nun mordsmäßig rumgerechnet und bist nachher (fast) genauso schlau wie vorher.

Außerdem: Wenn du die Determinante einer 4x4 Matrix berechnen willst, geht das nicht mehr so einfach.

Gruß, therisen der das Gaußsche Eliminationsverfahren vorzieht

19.04.2005, 20:23

reima

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Zitat:

Original von therisen
So toll ist das Determinantenverfahren nicht:

Zitat:

keine eindeutige Lösung, d.h. unendlich viele oder keine Lösung

In diesem Fall hast du nun mordsmäßig rumgerechnet und bist nachher (fast) genauso schlau wie vorher.

Sooo langwierig ist das Ausrechnen einer (3x3-)Determinante nun auch wieder nicht. Vor allem wenn man nach einer Zeile oder Spalte entwickelt, die ein paar mal die 0 enthält, wird's sehr einfach... und wenn es nur um die Lösbarkeit eines GS geht, dann ist doch die Determinante eine praktische Angelegenheit. Außerdem kann man mit Determinanten prima und unkompliziert die Volumen von Spat und Tetraeder berechnen.

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