Rechenschritt [Komplexe Zahlen]

14.11.2007, 22:02

komplexi

Rechenschritt [Komplexe Zahlen]

Hallo!

Ich kann folgenden Rechenschritt leider nicht nachvollziehen.
Es geht um die Bestimmung aller $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z^3 = -1 \end{eqnarray*}$

Also wir landen bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3=r^3(cos(3 \phi ) + i \cdot sin(3 \phi ) = -1 \end{eqnarray*}$

Als nächstes steht da $\begin{eqnarray*} = 1 [ cos (\pi ...) + i \cdot sin(\pi ...) ] \end{eqnarray*}$

Die Pünktchen habe ich eingefügt, weil da irgendwie Platz gelassen wurde. Soll nun -1 gleich dem letzten Term sein?

Wieso folgt daraus dann anscheinend r=1?

15.11.2007, 07:57

Dual Space

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RE: Rechenschritt [Komplexe Zahlen]
$\begin{eqnarray*} r=|z| \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 13:12

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{re^{it}} = \sqrt[n]{r} e^{i\frac{t+2k\pi}{n}},\quad k=0,1,\dots,n-1. \end{eqnarray*}$

Jetzt versuche die -1 in der Form $\begin{eqnarray*} re^{it} \end{eqnarray*}$ darzustellen. Ach, und falls du es noch nicht wissen solltest: $\begin{eqnarray*} e^{it} \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \cos(t) + i\sin(t). \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 17:41

komplexi

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hm, leider haben eure beiden Tipps bei mir nicht so viel gebracht.

Also so wie ich das sehe, muss aus irgendeinem Grund
$\begin{eqnarray*} cos(3\phi)+i \cdot sin(3 \phi) \end{eqnarray*}$
-1 sein. Warum ist mir aber unklar. Daraus könnte ich dann folgern dass r eins ist.

Dann würde ich auch verstehen, warum wir $\begin{eqnarray*} cos(\pi ..)+i \cdot sin(\pi ..) \end{eqnarray*}$ später benutzen, weil das eben -1 ist. (Könnte man dann auch pi/2 wählen?)

Ich hoffe ihr helft mir weiter smile

15.11.2007, 17:47

tigerbine

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Hausfrauenrezept
Bleiben wir einmal in der Polarkoordinatenschreibweise. Da brauchen wir eine Länge (Betrag der Komplexen Zahl) und einen Winkel. Wie berechnet man denn da die Potenz einer komplexen Zahl? Was passiert mit der Länge, was mit dem Winkel?

Wenn Du dir das klar machst, ist der Schritt zur Wurzelberechnung einer komplexen Zahl einfach und du wirst verstehen, dass WebFritzi es Dir schon aufgeschrieben hat.

15.11.2007, 17:55

komplexi

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also die Länge wird potenziert, die Winkel werden mal der Potenz genommen (zumindest ist das so, wenn man eine Länge der komplexen Zahl von 1 voraussetzt).

Also deswegen haben wir da auch r^3 und 3phi stehen. Und wir wollen, um an die Wurzel zu kommen, an phi. Aber meine erste Frage von oben hat das bei mir leider nicht aufgeklärt unglücklich

15.11.2007, 17:57

tigerbine

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Und was war die? verwirrt

15.11.2007, 18:32

mYthos

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Wenn für reelles r gilt $\begin{eqnarray*} r^3 = 1 \end{eqnarray*}$ ist, wird wohl auch r = 1 sein ...

mY+

15.11.2007, 18:52

komplexi

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@tigerbine:

Zitat:

Original von komplexi
Also so wie ich das sehe, muss aus irgendeinem Grund
$\begin{eqnarray*} cos(3\phi)+i \cdot sin(3 \phi) \end{eqnarray*}$
-1 sein. Warum ist mir aber unklar.

@mYthos:
Ist mir bewusst, aber anscheinend drücke ich mich mit meinem Problem nicht deutlich genug aus.
Wer sagt denn das r^3=1 ist?

15.11.2007, 18:53

tigerbine

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Das ist doch nur eine andere Darstellung von z³. Dafür gilt, hast Du selbst geschrieben:

$\begin{eqnarray*} z^3 = -1 \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 18:58

komplexi

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ja, aber wo ist das r geblieben. Wieso muss denn r auf jeden Fall 1 sein?

15.11.2007, 19:02

tigerbine

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Also es gilt:

$\begin{eqnarray*} z^3 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^3=r^3(cos(3 \phi ) + i \cdot sin(3 \phi ) )= -1 \end{eqnarray*}$

Und nun lies noch einmal die Bermerkung von Dual Space. Was ist denn r³? Und damit

$\begin{eqnarray*} z^3=cos(3 \phi ) + i \cdot sin(3 \phi ) = -1 \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 19:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von komplexi
hm, leider haben eure beiden Tipps bei mir nicht so viel gebracht.

Warum nicht? Ich habe dir doch klipp und klar gesagt, was zu tun ist. Stelle -1 in der Form $\begin{eqnarray*} re^{it} \end{eqnarray*}$ dar. Was $\begin{eqnarray*} e^{it} \end{eqnarray*}$ ist, habe ich dir auch schon geschrieben. r ist der Abstand der Zahl von der Null. -1 hat den Abstand 1 von der Null, also r = 1 und

$\begin{eqnarray*} -1 = e^{it} = \cos(t) + i\sin(t) \end{eqnarray*}$

Der Imaginaerteil von -1 ist Null. Also muss $\begin{eqnarray*} \sin(t) \end{eqnarray*}$ Null sein. Fuer $\begin{eqnarray*} t\in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ kommen da nur 0 und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ in Frage. Da aber $\begin{eqnarray*} \cos(0) = 1, \end{eqnarray*}$ kann Null nicht sein. Also ist $\begin{eqnarray*} t = \pi\;\Longrightarrow\;\;-1 = e^{i\pi}. \end{eqnarray*}$ Du hast also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^3 = e^{i\pi}\;\; \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \;\;z = \sqrt[3]{e^{i\pi}}. \end{eqnarray*}$

Benutze jetzt die Formel, die ich dir oben gegeben habe, um die drei Loesungen der Gleichung zu erhalten.

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