Prinzip vom ein und Ausschluss

14.11.2007, 23:27

Irrstern

Prinzip vom ein und Ausschluss

Hallo zusammen. Ich habe folgende Aufgabe und stehe meiner Meinung kurz vor der Lösung.

Ein Jahr ist ein Schaltjahr, wenn
- es durch 4 teilbar ist
- nicht durch 100, wohl aber durch 400 teilbar ist
Frage: Wieviele Schaltjahre liegen zwischen 1884 und 4004?

Mein Lösungsansatz:

M={m $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , 1884 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ m $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4004: m mod4=0}

N={n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , 1884 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4004: n mod100m $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0}

O={o $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , 1884 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4004: o mod400=0}

card M= int( $\begin{eqnarray*} \frac{4004-1884}{4} \end{eqnarray*}$ )+1=531

card N=(4004-1884+1)-( int( $\begin{eqnarray*} \frac{4004-1884}{100} \end{eqnarray*}$ )+1)= 2098

card O= int( $\begin{eqnarray*} \frac{4004-1884}{400} \end{eqnarray*}$ )+1=6

P={p $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , 1884 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ p $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4004:n mod100m $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ p mod 400=0}

card P = card N + card O, da N $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ O= leere Menge

so nun will ich das Prinzip vom Ein- und Ausschluss benutzen.

S= Menge aller Schaltjahre zwischen 1884 und 4004:

card S = card M + card P - |M $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ P|
card S = card M + card P - (card M + card P - card (M $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ P))
card S = card (M $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ P)

Nun komme ich nicht weiter, weil ich kein Algorithmus für die Schnittmenge von M und P finde. Ich hoffe ihr könnt mir ein Tipp geben.

Meine zweite Aufgabe zum gleichen Thema lautet:
Ein Lehrer erzählt seinem Kollegen: Meine Klasse hat 34 Schüler, 19 davon sind Jungen. 29 Schüler stehen im Schnitt 3 der besser. Von diesen sind 16 Jungen. 27 Schüler haben Reli. Von diesen sind 17 Jungen und 25 stehen 3 oder besser.

13 Jungen stehen 3 oder besser und haben Reli.

Die letzte Aussage sollen wir mit den vorherigen überprüfen.

Ich habe im Netz nichts darüber gefunden, auch hier nicht. Ich finde keinen Ansatz. Zuerst dachte ich ich brauche nur die Menge der Jungen betrachten, doch steht in einer der Aussagen, das 25 von den 27 Reli-schülern besser als drei sind. Nun müss ich wohl doch von der ganzen Klasse ausgehen.
Klar ist, das ich die Schnittmenge aller Jungen, die 3 oder besser stehen und Reli haben gesucht ist.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich meine Teilmengen zu definieren haben und welche Teilmengen relevant sind, bzw nicht.

15.11.2007, 15:27

therisen

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Zitat:

* Ein Schaltjahr ist alle vier Jahre (1992 und 1996 waren z.B. Schaltjahre)
* alle hundert Jahre nicht (1700 und 1800 waren keine Schaltjahre)
* und alle vierhundert Jahre doch (2000 war ein Schaltjahr)

$\begin{eqnarray*} A=\{n\in\mathbb \{1884,\dots,4004\}:~ 4|n \wedge 100\not|n \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\{n\in\mathbb \{1884,\dots,4004\}:~ 400|n\} \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} A\cap B=\varnothing \end{eqnarray*}$ . Für die Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aller Schaltjahre zwischen $\begin{eqnarray*} 1884 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4004 \end{eqnarray*}$ gilt daher $\begin{eqnarray*} |S|=|A|+|B|=509+6=515 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

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