Beweis Ableitung e-Funktion mit Umkehrfunktion

14.11.2007, 23:30	L (Ryuzaki)	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Ableitung e-Funktion mit Umkehrfunktion Hallo, Ich habe leichte Verständnissschwierigkeiten bei der Beweisführung der ableitung der e-Funktion, die wir in Mathe gemacht haben. Ich würde sagen, Ich habe es grundlegend verstanden, bräuchte aber ein paar Schritte evtl mal kurz erklärt :S Wir haben folgende Dinge : $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ Umkehrfunktion : $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray}$ Vorraussetzung : y = f(x), f'(x) existiert (Später wird f(x) durch ln(x) ersetzt, und die Ableitung ist ja $\begin{eqnarray} x^{-1}) \end{eqnarray}$ Los geht's mit dem Differenzenquotienten von der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} \end{eqnarray}$ Da y=f(x) $\begin{eqnarray} \frac{f^{-1}(f(x))-f^{-1}(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x - x_0}{f(x)-f(x_0)} \end{eqnarray}$ Umgeformt wäre das $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}} \end{eqnarray}$ Laut Vorraussetzung gibt es davon ne Ableitung unterm Bruchstrich : $\begin{eqnarray} \frac{1}{f'(x_0)} \end{eqnarray}$ Wir ersetzen das x_0 wieder durch die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0)} \end{eqnarray}$ Jetzt fangen die Probleme an, falls das obere von mir nicht schon falsch sein sollte xD Man hat ja y= ln(x) = f(x) also f'(x) = $\begin{eqnarray} x^{-1} = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ Ja die Umkehrfunktion davon ist, muss es die Umkehrfunktion von ln(x) sein. Das ist $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ . Wir verwenden aber $\begin{eqnarray} e^y \end{eqnarray}$ , damit wir mit den x nicht durcheinander kommen. Was da oben steht ist ja egal, es könnte ja auch f(y) oder f(Schnappi) oder f(SonstIrgendwas) da stehen ^^ Wenn wir das nun in diese Formel einbauen $\begin{eqnarray} \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0)} \end{eqnarray}$ Wobei wir folgendes haben : $\begin{eqnarray} f'(f^{-1}(y) = \frac{1}{f^{-1}(y)} = \frac{1}{e^y} \end{eqnarray}$ Also steht da : $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{1}{e^y}} = e^y \end{eqnarray}$ Damit wäre bewiesen : $\begin{eqnarray} (e^x)' = e^x \end{eqnarray}$ So, also Ich möchte gerne wissen, was davon falsch erklärt ist, wo meine Verständnisprobleme sind und wie es richtig ist. Nett wäre es, wenn jemand das mal ganz kurz nochmal von vorne bis hinten zu erklären ^^ Danke MFG L

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