beweis sub/inf

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wummi Auf diesen Beitrag antworten »
beweis sub/inf
Hallo an alle!

ich hab eine aufgabe bekommen: mit der eigenschaft, n ist elemet der natürlichen Zahlen ohne die null.

Wir sollen das supremum, infimum, max und min angeben, das habe ich glaub ich schon richtig gemacht. für sup= max hab ich 10/3 und für das inf 0 ohne min.
Jetzt muss man das noch beweisen. Wie das geht, davon hab ich nur so eine ungefähre vorstellung. Das muss man ja mit dem intervallschachtelungsprinzip machen. Ich dachte ich wähle als erstes ein intervall zwischen 1 und 4, aber wie es weiter geht weiß ich nicht (und ob das über haupt sinn macht mit meiner idee... ) kann mit da jemand weiterhelfen?

Lg
wummi
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das Intervallschachtelungsprinzip brauchst du hier nicht. Eine Möglichkeit wäre, die Definition des Supremums nachzuweisen: ist eine obere Schranke für und für alle gibt es ein , sodass



Natürlich wirst du hier wählen. Du kannst auch die Folge näher untersuchen (hinsichtlich Monotonie/Konvergenz).
wummi Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank so weit! Wir haben so etwas mit Konvergenz noch garnicht gehabt.. Wie geht den das so ungefähr? Vielleicht hast du für mich noch einen kleine Tip?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr Konvergenz noch nicht gehabt habt, dann macht das hier auch keinen Sinn. Gut, du koenntest etwas dabei lernen (das macht Sinn!), aber aufschreiben und abgeben kannst du das so nicht.
wummi Auf diesen Beitrag antworten »

was bedeutet denn dieses epsilon?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das drückt gerade aus, dass die kleinste obere Schranke ist - das ist der Fall, wenn jede mögliche kleinere Schranke (hier kommt das Epsilon ins Spiel) keine Schranke ist. Wie habt ihr denn das Supremum definiert?
 
 
wummi Auf diesen Beitrag antworten »

ok also das Supremum bedeutet ja,
sei M die Trägermenge und N eine teilmenge, und sei N nach oben beschränkt, dann ist das Supremum so definiert:
für alles x € N gibt es ein s € M für das gilt s größer gleich x . Also ist das s die kleinste obere schranke von N und liegt in M kann aber auch in N liegen. So ist das definiert. UNd dass ein epsilon minus der 10/3 auf jeden fall keine obere schranke sein kann, weil ja 10/3 schon die kleinste obere schranke ist, ist ja auch schon ganz klar, denn alles was darunter ist, hat noch ein element das darüber ist bloß ab 10/3 wird der bruch immer kleiner... aber wie kann man das mit dem eplison bloss beweisen traurig
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Häng dich mal an dem Epsilon nicht auf, im Prinzip reicht deine Argumentation hierfür bzw. meine (s.o.). Zeige, dass für alle (das ist der schwerere Teil).
wummi Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also ich weiß wie das supremum definert ist, und die ungleichung ist auch total klar. Also ich habe halt für n alle werte 1-10 eingesetzt um mal zu schon wo das hingeht, aber , das reicht natürlich nicht. Die Behauptung muss ja mathematisch bewiesen werden. Aber mit dem Beweis tu ich mich schwer, weil mir so ein ansatz fehlt. wie kann ich bloß beweisen, dass 10/3 wirklich das supremum ist, und alles andere kleiner ist.. Sorry, ich stell mich echt an ich weiß, aber diese aufgabe macht mich verrückt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige z.B., dass deine Folge monoton faellt. Dann ist es klar, dass das erste Folgenglied das Supremum ist. Dazu musst du noch zeigen, dass fuer alle natuerlichen Zahlen n gilt.

EDIT: Vielleicht geht es auch viel leichter.
wummi Auf diesen Beitrag antworten »

Liebsten Dank an Euch! Wir hatten die Aufgabe jetzt in der Übungsgruppe besprochen, und das hat uns die Übungsgruppenleiterin jetzt alles schon erklärt. Ich werds mir trotzdem noch mal anschauen müssen. Nochmal vielen Dank!

Eure wummi
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo wummi!

Bitte stelle deine Lösung noch hier hinein. Das ist hier so üblich, wenn ein Thread (bzw. eine Fragestellung) abgeschlossen werden soll.
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