Rosinen im Kuchen

15.11.2007, 17:26

Arcus Tangens

Rosinen im Kuchen

Hallo,
ich verstehe den Lösungsweg zu folgender Aufgabe nicht:

In einem Kuchen sind 10 unterschiedliche Rosinen zufällig verteilt. Der Kuchen wird in 3 gleich große Teile zerschnitten.

b) die Kuchenteile werden mit A,B,C bezeichnet. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, daß in Teil A genau zwei Rosinen sind.

Lösung: in A genau 2 Rosinen: Ereignis A: in A genau 2 Rosinen

$\begin{eqnarray*} \fbox{\begin{minipage}{10cm}$\displaystyle |A|=\binom{10}{2}\cdot 2^8\\\\\\P(A)=\dfrac{\binom{10}{2}\cdot 2^8}{3^{10}}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 2^8}{1\cdot 2\cdot 3^{10}}=0,195$\end{minipage}} \end{eqnarray*}$

-->meine Frage hierzu: wie konkret wird dieses $\begin{eqnarray*} $|A|=\binom{10}{2}\cdot 2^8 \end{eqnarray*}$ hergeleitet?

c) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in A und in B jeweils genau 2 Rosinen sind?

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \fbox{\begin{minipage}{10cm}$\displaystyle|A\cap B|=\binom{10}{2}\cdot \binom{8}{2}\\\\\\P(A\cap B)=\dfrac{\binom{10}{2}\cdot \binom{8}{2}}{3^10}=\dfrac{10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2 \cdot 3^10}=0,213$\end{minipage}} \end{eqnarray*}$

-->meine Frage hierzu: Wieso fehlt hier nun das entsprechende $\begin{eqnarray*} $\displaystyle 2^6$ \end{eqnarray*}$ im Zähler? das müßte doch analog zur Aufgabe b) hier auch stehen, weil is ja prinzipiell das Gleiche gefragt, oder? Hier wären ja noch 6 Rosinen übrig.

Grüße,
Arcus Tangens

15.11.2007, 19:00

therisen

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RE: Rosinen im Kuchen

Zitat:

Original von Arcus Tangens
-->meine Frage hierzu: wie konkret wird dieses $\begin{eqnarray*} $|A|=\binom{10}{2}\cdot 2^8 \end{eqnarray*}$ hergeleitet?

Erst pickst du 2 der 10 Rosinen heraus und steckst sie in Stück A (2 aus 10 Möglichkeiten). Eigentlich ist das ja $\begin{eqnarray*} \frac{10\cdot 9}{2!} \end{eqnarray*}$ : Für die Wahl der ersten Rosine hast du 10, für die der zweiten 9 Möglichkeiten. Es ist aber egal, in welcher "Reihenfolge" diese zwei Rosinen gewählt werden. Für jede der 8 verbleibenden Rosinen hast du dann noch 2 Möglichkeiten: Entweder sie ist in B oder in C.

Zitat:

Original von Arcus Tangens
-->meine Frage hierzu: Wieso fehlt hier nun das entsprechende $2^6$ im Zähler? das müßte doch analog zur Aufgabe b) hier auch stehen, weil is ja prinzipiell das Gleiche gefragt, oder? Hier wären ja noch 6 Rosinen übrig.

Der Unterschied ist, dass nach dem Verteilen auf A und B nur noch ein Kuchen übrig bleibt - also $\begin{eqnarray*} 1^6 \end{eqnarray*}$ .

15.11.2007, 19:29

Arcus Tangens

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RE: Rosinen im Kuchen
Hallo therisen,
vielen Dank für diese gut nachvollziehbare Antwort.
Ich glaube, jetzt verstehe ich langsam, wie sich solche Formeln zusammensetzen...
Gut, daß Du mir den Hinweis auf das "unsichtbare", aber dennch vorhandene $\begin{eqnarray*} $1^6 $ \end{eqnarray*}$ gegeben hast. Das ist fürs Verständnis sehr wichtig.
Die Mathelehrer kehren sowas immer gerne unter den Teppich, und ich als Schüler schau ins Leere...

Grüße,
Arcus Tangens

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