geometrische Deutung, Tangentialvektor

15.11.2007, 18:25	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Deutung, Tangentialvektor Hallo, ich stecke irgendwie bei folgender Aufgabe fest. Sei $\begin{eqnarray} f:R \rightarrow R^+ \end{eqnarray}$ glatt und posititv. $\begin{eqnarray} M_f \end{eqnarray}$ die durch f definierte Rotationsfläche $\begin{eqnarray} M_f = \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2=f(z)^2 \right\} \end{eqnarray}$ und Z der Zylinder mit Radius 1. Des Weiteren sei $\begin{eqnarray} F: M_f \rightarrow Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(x,y,z)= \left( -\frac{1}{f(z)}y , \frac{1}{f(z)}x , z+1\right) \end{eqnarray}$ a) Was bedeutet die Abbildung geometrisch? - hier habe ich keine ahnung, nur, dass die Abbildung halt irgend ein Gebilde innerhalb des Zylinders sein muss. b) Zeigen Sie, dass F ein Diffeomorphismus ist. -hier habe ich $\begin{eqnarray} F^{-1}(a,b,c) = \left( b f(c), -af(c), c-1 \right) \end{eqnarray}$ bestimmt. Ist alleine durch die Existenz von $\begin{eqnarray} F^{-1} \end{eqnarray}$ die Bijektivität gezeigt? Da sich ja die einzelnen Koordinatenfunktionen $\begin{eqnarray} F_1,F_2,F_3 \end{eqnarray}$ aus f und Polynomfuntionen zusammensetzen, folgt die stetige Differensierbarkeit?! c) Sei $\begin{eqnarray} p=(x,y,z) \in M_f \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} v=(-y,x,0)\in R^3 \end{eqnarray}$ ein Tangentialvektor an M_f im Pkt. p ist und bestimmen Sie den Bildvektor $\begin{eqnarray} dF_p(v)\in T_{F(p)}Z \end{eqnarray}$ . -Tangentialvektor: hier müsste ich ja eigentlich zeigen, dass F(0)=p und F'(0)=v gilt. Aber es gilt doch $\begin{eqnarray} DF(x,y,z) = \left( \begin{array}{ccc}0 & \frac{-1}{f(z)} & \frac{-1}{f^{'}(z)}y \\ \frac{1}{f(z)} & 0 & \frac{1}{f^{'}(z)}x \\ 0 & 0 & z \end{array} \right) \end{eqnarray}$ ??? wie soll ich hier bei F'(0) einen Vektor in R^3 herausbekommen? -Bildvektor: keine Ahnung :-( d) Veranschaulichen Sie v und $\begin{eqnarray} dF_p(v) \end{eqnarray}$ in Skizze. -da ich mir F nicht mal richtig vorstellen kann, gestaltet sich das hier auch sehr schwer :-( Vielen Dank für jede Hilfe Gruß Torsten

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