Funktionsuntersuchung

15.11.2007, 21:09

MatheKind

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Funktionsuntersuchung

Hallo,
habe das schon länger nicht gemacht und auch wenn ich mir andere Beispiele anschaue, komme ich gerade bei dieser Aufgabe nicht sonderlich weit:

Ein Polynom dritten Grades berührt bei $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ die Achse und hat bei $\begin{eqnarray*} x = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ einen Wendepunkt. Bei der zweiten Nullstelle schneidet die Kurve die x-Achse mit der Steigung 2.
Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms?

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

Dann kann man gleich folgendes ausprobieren:

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 0 \end{eqnarray*}$

Wendepunkt bei $\begin{eqnarray*} x = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f''(-\frac{1}{3}) = 2a + 2b = 0 \end{eqnarray*}$

Berührt x-Achse bei $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ . Heisst also, dass y an diesem Punkt Null ist.

$\begin{eqnarray*} f(-1) = -a + b - c = 0 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung muss bei $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ auch Null sein:

$\begin{eqnarray*} f'(-1) = 3a - 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht irre, sollte die 2. Ableitung bei $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ ebenfalls Null sein, da das für mich nach einem Sattelpunkt klingt.

$\begin{eqnarray*} f''(-1) = -6a + 2b = 0 \end{eqnarray*}$

Dann heisst es, dass bei der 2. Nullstelle die Steigung 2 ist. Nun ich habe oben bei $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ eine gefunden. Jedoch weiß ich nicht, ob das DIE zweite Nullstelle ist. Ich denke jedoch mal, dass sie das ist, da keine andere angegeben ist. Also:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 + 0 + c = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-\frac{1}{3}) + f'(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2a + 2b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3a - 2b + 2 = 0 \end{eqnarray*}$ (Hier wurde $\begin{eqnarray*} c = 2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt).

$\begin{eqnarray*} a = -2 \end{eqnarray*}$

Das Dumme ist, wenn ich teilweise verschiedene Lösungen von b bekomme, wenn ich a und c in verschiedene Gleichungen einsetze.

Wo ist/sind der/die Fehler?!

Danke im Voraus!

Liebe Grüße
MatheKind

15.11.2007, 21:18

Calvin

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RE: Funktionsuntersuchung

Zitat:

Original von MatheKind
Dann kann man gleich folgendes ausprobieren:

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 + d \end{eqnarray*}$

Wo nimmst du diese Information her? Es steht nirgends in der Aufgabe, dass die Funktion durch den Ursprung gehen soll.

Zitat:

Wenn ich mich nicht irre, sollte die 2. Ableitung bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ebenfalls Null sein, da das für mich nach einem Sattelpunkt klingt.

Auch das ist nicht richtig. Über die zweite Ableitung bei x=-1 kannst du nichts sagen.

Ich würde gleich einen anderen Ansatz vorschlagen, und zwar die Linearfaktoren. Eine Funktion dritten Grades sieht dann allgemein so aus: $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d) \end{eqnarray*}$ , wobei b,c,d die Nullstellen sind.

Du weißt, dass bei x=-1 eine doppelte Nullstelle ist. Damit kannst du die allgemeine Funktion schon stark vereinfachen.

15.11.2007, 22:17

MatheKind

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RE: Funktionsuntersuchung
Hi Calvin!

Zitat:

Original von Calvin

Zitat:

Original von MatheKind
Dann kann man gleich folgendes ausprobieren:

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 + d \end{eqnarray*}$

Wo nimmst du diese Information her? Es steht nirgends in der Aufgabe, dass die Funktion durch den Ursprung gehen soll.

Stimm!

unglücklich

Zitat:

Wenn ich mich nicht irre, sollte die 2. Ableitung bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ebenfalls Null sein, da das für mich nach einem Sattelpunkt klingt.

Zitat:

Auch das ist nicht richtig. Über die zweite Ableitung bei x=-1 kannst du nichts sagen.

Ich würde gleich einen anderen Ansatz vorschlagen, und zwar die Linearfaktoren. Eine Funktion dritten Grades sieht dann allgemein so aus: $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d) \end{eqnarray*}$ , wobei b,c,d die Nullstellen sind.

Du weißt, dass bei x=-1 eine doppelte Nullstelle ist. Damit kannst du die allgemeine Funktion schon stark vereinfachen.

Irgendwie verstehe ich die Gleichung nicht!
Wenn ich beispielsweise a mit jeder Klammer multipliziere, kommt z. B. irgendetwas mit ab, ac und ad raus, was ja nicht der normalen Funktion dritten Grades entspricht.

Zweites Problem:
Wo würde ich dann die beiden Nullstellen (-1) einsetzen? Ich hätte da mehrere Möglichkeiten zur Auswahl. Würde das etwa nicht das Ergebnis beeinträchtigen?!

Was für Möglichkeiten gibt es noch, die Aufgabe zu lösen?!

Liebe Grüße
MatheKind

15.11.2007, 22:27

Calvin

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RE: Funktionsuntersuchung
Das ist lediglich eine andere Form, die Funktion aufzuschreiben. Die hat den Vorteil, dass man die Nullstellen direkt ablesen kann. Auch hat sie in dieser speziellen Aufgabe den Vorteil, dass du die dritte (noch unbekannte) Nullstelle bekommst. Diese Information vereinfacht dir die Rechnung.

Ist dir klar, warum b,c,d in dieser Form die Nullstellen sind? Wenn nicht, dann setze mal z.B. $\begin{eqnarray*} x=b \end{eqnarray*}$ ein. Du erhälst $\begin{eqnarray*} f(b)=a(b-b)(b-c)(b-d)=a\cdot 0\cdot (b-c)(b-d)=0\cdot \text{irgendwas}=0 \end{eqnarray*}$

Analog geht es mit den anderen beiden Nullstellen.

Dadurch, dass du die doppelte Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ hast, kannst du z.B. $\begin{eqnarray*} b=c=-1 \end{eqnarray*}$ setzen. Somit bleiben dir nur noch zwei Unbekannte.

Wie sieht die Funktion an dieser Stelle aus?

Mit der Information, dass bei $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ein Wendepunkt ist, kannst du $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wenn es dir hilft, kannst du die Klammern bei der Funktion auflösen.

Für die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nimmst du die Information, dass bei der zweiten Nullstelle (welchen Wert hat die genau?) die Steigung 2 ist.

15.11.2007, 23:15

MatheKind

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RE: Funktionsuntersuchung

Zitat:

Original von Calvin
Ist dir klar, warum b,c,d in dieser Form die Nullstellen sind? Wenn nicht, dann setze mal z.B. $\begin{eqnarray*} x=b \end{eqnarray*}$ ein. Du erhälst $\begin{eqnarray*} f(b)=a(b-b)(b-c)(b-d)=a\cdot 0\cdot (b-c)(b-d)=0\cdot \text{irgendwas}=0 \end{eqnarray*}$

Dann ist es also vollkommen egal, WO ich die Nullstellen einsetze?!

Zitat:

Analog geht es mit den anderen beiden Nullstellen.

Dadurch, dass du die doppelte Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ hast, kannst du z.B. $\begin{eqnarray*} b=c=-1 \end{eqnarray*}$ setzen. Somit bleiben dir nur noch zwei Unbekannte.

Wie sieht die Funktion an dieser Stelle aus?

Du meinst aufgelöst?!

Ich habe da folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} a(x^3 + x^2 - xd - d) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mit der Information, dass bei $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ein Wendepunkt ist, kannst du $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Inwiefern kann ich da $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ bestimmen, schließlich ist an dem Punkt $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ nur dann eine Nullstelle, wenn ich die Funktion zwei mal ableite!

Zitat:

Für die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nimmst du die Information, dass bei der zweiten Nullstelle (welchen Wert hat die genau?) die Steigung 2 ist.

Den Wert der 2. Nullstelle wird eben nicht angegeben, was auch mein Hauptproblem ist! Ich weiß einfach nicht, wo ich den Wert 2 einsetzen soll, wenn nicht die Nullstelle bekannt ist.

Liebe Grüße
MatheKind

16.11.2007, 13:39

MatheKind

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Weiß niemand weiter?! traurig

traurig

Liebe Grüße
MatheKind

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16.11.2007, 20:36

MatheKind

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Ist die Aufgabe tatsächlich so schwer, so dass mir niemand helfen kann?! unglücklich

unglücklich

16.11.2007, 20:52

CFusz

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Hallo,

also ausgehend von deinen anfänglichen Überlegungen könnte man so beginnen

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

Aus dem text, lassen sich nun folgende Informationen ableiten.

1. $\begin{eqnarray*} f(-1)=0 \end{eqnarray*}$ wegen "berührt bei x=-1 die Achse"
2. $\begin{eqnarray*} f'(-1)=0 \end{eqnarray*}$ wegen "berührt bei x=-1 die Achse"
3. $\begin{eqnarray*} f''(-\frac{1}{3})=0 \end{eqnarray*}$ wegen "hat einen Wendepunkt"
4. $\begin{eqnarray*} f(n)=0 \end{eqnarray*}$ wegen "hat an der 2ten Nullstelle, die kennen wir nicht, deswegen setzen wir hier die Variyble n
5. $\begin{eqnarray*} f'(n)=2 \end{eqnarray*}$ wegen "schneidet die Kurve die X-Achse mit der Steigung 2"

So hätten wir also 5 Bedingungen um die 5 unbekannten a,b,c,d und n zu bestimmen.

16.11.2007, 21:43

MatheKind

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Hi CFusiz,

Ich habe folgendes:

Grundformeln:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

Textinformationen:

$\begin{eqnarray*} f(-1) = -a + b - c + d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-1) = 3a - 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-\frac{1}{3}) = -2a + 2b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(n)= an^3 + bn^2 + cn + d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(n) = 3an^2 + 2bn + c = 2 \end{eqnarray*}$

Statt ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht nun ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Was das bringen soll, weiss ich nicht. Big Laugh

Big Laugh

Ich habe jedoch auch noch andere Dinge ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} f''(-\frac{1}{3}) = 2a + 2b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f'(-1) \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f'(-1) = 3a - 2a + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = -a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(-1) \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f(-1) = -a + a + a + d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = c = -a \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich nun wirklich nicht!!!

Liebe Grüße
MatheKind

16.11.2007, 22:05

CFusz

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Hallo,

nun nur noch b,c,d in den letzten beiden Gleichungen ersetzen und nach a bzw n auflösen.

16.11.2007, 22:09

Calvin

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RE: Funktionsuntersuchung
Die 5 Bedingungen, die CFusz hingeschrieben hat, stimmen zwar. Ich halte den Ansatz trotzdem nicht für sinnvoll, weil du nicht auf einfachem Weg an die fehlende Nullstelle kommst. Ich gehe deshalb nochmal zurück zu meinem Ansatz bzw. deinen Fragen dazu.

Zitat:

Original von MatheKind

Zitat:

Original von Calvin
Ist dir klar, warum b,c,d in dieser Form die Nullstellen sind? Wenn nicht, dann setze mal z.B. $\begin{eqnarray*} x=b \end{eqnarray*}$ ein. Du erhälst $\begin{eqnarray*} f(b)=a(b-b)(b-c)(b-d)=a\cdot 0\cdot (b-c)(b-d)=0\cdot \text{irgendwas}=0 \end{eqnarray*}$

Dann ist es also vollkommen egal, WO ich die Nullstellen einsetze?!

Jein. Zwei der Unbekannten b,c,d kannst du durch die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$ ersetzen. Dadurch, dass die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ die x-Achse berührt ist dort eine doppelte Nullstelle.

Deine Funktion vereinfacht sich dann zu $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-(-1))(x-(-1))(x-d)=a(x+1)^2(x-d) \end{eqnarray*}$

Wenn du da die Klammern auflöst (das a kannst du ausgeklammert lassen), wirst du feststellen, dass du ein anderes Ergebnis bekommst, als du oben angegeben hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

[/quote]Inwiefern kann ich da $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ bestimmen, schließlich ist an dem Punkt $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ nur dann eine Nullstelle, wenn ich die Funktion zwei mal ableite![/quote]
Na dann leite die Funktion doch zweimal ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du wirst feststellen, dass du das ziemlich bequem auflösen kannst.

Zitat:

Den Wert der 2. Nullstelle wird eben nicht angegeben, was auch mein Hauptproblem ist!

Hier kommt der obige Ansatz ins Spiel. Der besagt, dass d eine Nullstelle ist. Dadurch, dass du d im letzten Schritt bestimmt hast, hast du auch automatisch die letzte Nullstelle.

Gruß
Calvin

16.11.2007, 22:19

pema

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RE: Funktionsuntersuchung
Die Idee mit der Linearfaktordarstellung war gut.

Ansatz : f ( x) = a ( x+1)² (x-b) , wobei b die weitere unbekannte Nullstelle ist.

f ' (x) = a (x+1) (3x - 2b + 1)

f '' (x) = 2a (3x - b+2)

aus f '' (-1/3) =0 folgt (1) 2a (1-b) = 0 (hier ist schon klar, dass b = 1 sein muss, da a ungleich Null ).

aus f ' (b) = 2 folgt (2) a (b+1)² = 2

(2) nach a aufgelöst und in (1) eingesetzt liefert b = 1 und dann a = 0,5.

Anmerkung : Eigentlich sind im Aufgabentext zu viele Infos enthalten, es würde genügen vorzugeben, dass noch eine weitere Nullstelle außer der doppelten existiert.
Die Angabe der Steigung dort ist streng genommen überflüssig.

16.11.2007, 22:22

pema

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RE: Funktionsuntersuchung
Die gesuchte Funktion lautet also

f (x) = 0,5 (x+1)² (x-1)

16.11.2007, 23:01

Calvin

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@pema

Schön, dass du dich auch am Thread beteiligst. Aber bitte keine Komplettlösungen einstellen (siehe Boardprinzip) Der Aufgabensteller soll hier nur Tipps und Hinweise kriegen, um sich dann selbst die Lösung zu erarbeiten.

16.11.2007, 23:15

pema

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o.k.
hatte das "boardprinzip" nicht gelesen, sondern bin zufällig auf diese Seite und dann diese Aufgabe gestoßen.

17.11.2007, 03:14

MatheKind

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Ich habe das mal weiter ausgearbeitet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x+1)^2(x-d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = a((x^2 + 2x + 1) * (x-d)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^3 + 2x^2 - d - x^2d - 2dx + x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = a(3x^2 + 4x - 2xd - 2d + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = a(6x + 4 - 2d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-\frac{1}{3}) = a(-2 + 4 - 2d) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 + 4 - 2d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(1) = a(3 + 4 - 2*1*1 - 2*1 + 1) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(1) = a(7 - 4 + 1) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 - x +1 \end{eqnarray*}$

Weicht also der Lösung von perma ab.

Außerdem bekomme ich eine andere Gleichung raus, wenn ich den Wert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ (die doppelte Nullstelle) bei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ einsetze und nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auflöse. Dann ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nämlich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und somit kommt eine andere Funktion raus. Folglich kann ich $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ nicht überall einsetzen.

Ist also meine Funktion, die ich mometan habe überhaupt die Richtige?!

Liebe Grüße
MatheKind

17.11.2007, 10:14

pema

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Du bist bei gleicher Ausgangsfunktionsgleichung auf dieselben Werte für a und d gekommen.
Dir ist aber ein offensichtlich beim Ausmultiplizieren ein Fehler in der letzten Zeile bei der Angabe der gesuchten Funktion unterlaufen.

Gruß pema

17.11.2007, 11:23

Calvin

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Nein, der Fehler ist ein anderer. Du hast die beiden Ansätze $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ vermischt. Du hast mit dem ersten Ansatz a,b,c,d ausgerechnet und in den zweiten Ansatz eingesetzt. Die a,b,c,d in diesen beiden Ansätzen sind nicht gleich Lehrer

Lehrer

Ich hätte besser $\begin{eqnarray*} f(x)=e(x-f)(x-g)(x-h) \end{eqnarray*}$ geschrieben, um dieses Misverständnis zu vermeiden.

Deine Funktion lautet also $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2(x-1) \end{eqnarray*}$ . Wenn du die Lösung ohne Klammern haben möchtest, musst du in dieser Funktion die Klammern auflösen Lehrer

Lehrer

17.11.2007, 15:27

MatheKind

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Danke!!!!

smile

Du warst mir eine große Hilfe! smile

smile

Frage: Wie sieht ein Polynom 4. Grades aus?!

Etwas so?!

$\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d)(x-e) \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße
MatheKind

17.11.2007, 15:35

Yoshee

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genau, wobei b, c, d und e die Nullstellen sind.

17.11.2007, 15:43

MatheKind

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THX. Dann kann man das also ewig in dieser Art fortsetzen, wenn sich der Grad um 1 steigert. smile

smile

Habe übrigens herausgefunden, dass eine Komiltin von mir, diese Aufgabe mit Polynomdivision herausbekommen hat. Werde ich auch mal ausprobieren.

Aber jetzt schaue ich mir zur Entspannung erst mal Harry Potter und der Orden des Phönix an. smile

smile

Liebe Grüße
MatheKind

17.11.2007, 17:28

Calvin

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Deine Komilitonin hat vermutlich den Ansatz von CFusz benutzt. Dabei muss man die fehlende Nullstelle erraten und Polynomdivision anwenden. Da finde ich den anderen Ansatz deutlich bequemer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oftmals ist der Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ geschickter, weil kein Produkt der Unbekannten a,b,c,d entsteht. Damit kommst du letztendlich auf ein lineares Gleichungssystem, was sich mit Standardverfahren lösen läßt.

Wenn aber (wie in der obigen Aufgabe) viele Nullstellen gegeben sind, kann der Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-e)(x-f)(x-g) \end{eqnarray*}$ geschickter sein.

18.11.2007, 03:11

MatheKind

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Wieso erraten, wenn schon eine Nullstelle gegeben ist?!
Anschließend hat man nur noch eine Funktion 2. Grades nach der Polynomdivision. Anschließend pq-Formel und das wars.

Liebe Grüße
MatheKind

18.11.2007, 12:25

Calvin

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Stimmt, da hast du recht Freude

Freude

Daran hatte ich nicht gedacht. Ich hing wohl zu sehr an meinem Ansatz Augenzwinkern

Augenzwinkern

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