monoton wachsend

16.11.2007, 00:12

FabiB

monoton wachsend

hallo,

kann mir jemand einen Hinweis geben, wie ich zeigen kann, dass die Folge

$\begin{eqnarray*} ( \sqrt[n]{n!} )_{n\in\mathbb N } \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist.

Also der Ansatz ist ja nach Definition, etwa:

Es ist zu zeigen, dass aus n > m folgt $\begin{eqnarray*} ( \sqrt[n]{n!} )_{n\in\mathbb N } > ( \sqrt[m]{m!} )_{m\in\mathbb N } \end{eqnarray*}$

Meine Idee bisher war etwa so:

Aus n>m folgt n!>m!. (ist das bereits offensichtlich oder muss ich so etwas auch zeigen?)

und nun weiss ich auch nicht genau weiter, aber ich denke ich darf/kann/sollte verwenden das die Wurzelfunktion monoton wachsend ist.

16.11.2007, 10:17

klarsoweit

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RE: monoton wachsend

Zitat:

Original von FabiB
Aus n>m folgt n!>m!. (ist das bereits offensichtlich oder muss ich so etwas auch zeigen?)

Das lassen wir mal als offensichtlich gelten. Augenzwinkern

Zitat:

Original von FabiB
und nun weiss ich auch nicht genau weiter, aber ich denke ich darf/kann/sollte verwenden das die Wurzelfunktion monoton wachsend ist.

Da kommt es darauf an, was du unter Wurzelfunktion verstehst. $\begin{eqnarray*} f(x) = a^{1/x} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend für konstantes a > 1.

Verfolge diesen Ansatz:
Setze $\begin{eqnarray*} a_n := \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ und zeige $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 \end{eqnarray*}$

Dazu benötigtst du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} n! \leq (\frac n 2)^n \end{eqnarray*}$ .
Ich hoffe, daß die in der Vorlesung schon dran war.

16.11.2007, 11:06

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Zitat:

Original von klarsoweit
Dazu benötigst du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} n! \leq (\frac n 2)^n \end{eqnarray*}$ .

Die mag hinreichend sein zur Lösung der Aufgabe, aber es geht auch anders, einfacher. Außerdem gilt diese Ungleichung ja erst für $\begin{eqnarray*} n\geq 6 \end{eqnarray*}$ , was dann hinsichtlich der Monotonie eine Einzelfallbetrachtung der ersten Glieder erfordert.

16.11.2007, 11:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Die mag hinreichend sein zur Lösung der Aufgabe, aber es geht auch anders, einfacher.

Dann laß uns bitte nicht dumm sterben und gib uns wenigstens einen klitzekleinen Tipp. Mit Zunge

16.11.2007, 14:12

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Hinreichend zum Nachweis der Monotonie ist, die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt[n+1]{(n+1)!} > \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Nach Potenzieren mit $\begin{eqnarray*} n(n+1) \end{eqnarray*}$ ist das äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} (n+1)!^n > n!^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Ein, zwei (vielleicht auch drei Augenzwinkern

) äquivalente Umformungsschritte später sieht man die Gültigkeit dieser Ungleichung. Natürlich zieht man dabei die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} (n+1)! = n! \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ hinzu.

20.11.2007, 20:57

FabiB

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hat jemand eine idee wie ich diese ungleichung zeigen kann?

20.11.2007, 21:40

tmo

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die ungleichung ist äquivalent zu:

$\begin{eqnarray*} n!^n(n+1)^n > n!^{n+1} \Leftrightarrow (n+1)^n > n! \end{eqnarray*}$

kannst du nun alleine weitermachen?

20.11.2007, 21:50

FabiB

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ehrlichgesagt nein, irgendetwas geht hier an mir vorbei. also nochmal ganz langsam.

welche ungleichung ist äquivalent wozu?
verfolgst du jetzt den ansatz von arthur dent?

20.11.2007, 21:57

tmo

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ja und ich habe schlicht und einfach nur die letzten worte seines posts beherzigt.

20.11.2007, 22:15

FabiB

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aber du multiplizierst auf der linke seite mit n!^n und auf der rechten seite passiert garnichts. das verstehe ich nicht. oder wie kommst du auf die linke seite deiner Äquivalenz?

20.11.2007, 22:48

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Zitat:

Original von FabiB
aber du multiplizierst auf der linke seite mit n!^n

Nix wird links multiplziert, nur zerlegt: Es gibt da sowas, das nennt sich Potenzgesetze:

$\begin{eqnarray*} (n+1)!^n = [(n+1)\cdot n!]^n = (n+1)^n\cdot n!^n \end{eqnarray*}$

Das sollte nun wirklich nicht so schwer zu sehen sein, zumal im Hochschulforum.

21.11.2007, 01:10

FabiB

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oh sorry ich hatte ein fakultätszeichen übersehen

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