Signatur der natürlichen Zahlen: Vorgänger von 1

16.11.2007, 09:07

Moeki

Signatur der natürlichen Zahlen: Vorgänger von 1

Zitat:

Beschreiben Sie die Signatur für das aus der Mathematik bekannte Konzept der natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit den beiden Operatoren succ und pre. Dabei liefert succ zu einer natürlichen Zahl die nächst größere und pre die nächst kleinere natürliche Zahl. Zusätzlich gibt es die Operatoren $\begin{eqnarray*} \textgreater \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \textless \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Sigma_{\mathbb N} = (S_{\mathbb N}, F_{\mathbb N}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Sigma_{\mathbb N} = \{\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{\mathbb N} = \{\textgreater : \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow BOOL, \textless : \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow BOOL, = : \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow BOOL, succ : \mathbb N \rightarrow \mathbb N, pre : \mathbb N \rightarrow \mathbb N\} \end{eqnarray*}$

BOOL ist bereits bekannt. Reicht das an dieser Steller zur Signatur? (Mehr haben wir jedenfalls bei BOOL auch nicht gemacht.)

Wir drücke ich in der Signatur aus, dass die natürliche Zahl 1 keinen Vorgänger hat (0 gehört nach unserer Definition nicht zu den natürlichen Zahlen)? Ich wüsste mir jetzt nur noch mit der arithmetischen Theorie Q weiterzuhelfen, aber ist die überhaupt zwingender Bestandteil einer Signatur im mathematischen Sinne? Oder aber ich zeige, wie die Vorgängerfunktion primitiv-rekursiv aufgebaut wird mit den entsprechenden Einschränkungen, aber das würde zu weit gehen.

Q1: $\begin{eqnarray*} \forall x, y . succ (x) = succ (y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
Q2: $\begin{eqnarray*} \forall x . succ (x) \neq 0 \end{eqnarray*}$
Q3: $\begin{eqnarray*} \forall x . x \neq 0 \Rightarrow \exists y . x = succ (y) \end{eqnarray*}$
Q4: $\begin{eqnarray*} \forall x . x + 0 = x \end{eqnarray*}$
Q5:usw.
Q6:
Q7:

Gruß,
Marko.

17.11.2007, 19:50

Abakus

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RE: Signatur der natürlichen Zahlen: Vorgänger von 1
Nimm die 1 doch einfach aus dem Definitionsbereich von pre raus. Alternativ kannst du pre auch als partielle Funktion betrachten.

Es hängt natürlich davon ab, wie ihr euer Konzept der Signatur definiert habt.

Grüße Abakus smile

17.11.2007, 23:15

Moeki_gast

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Jupp. So hab ich es gemacht.

pre: $\begin{eqnarray*} \mathbb N \backslash \{1\} \Rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$

Demnach gilt pre dann für alle x größer gleich 2.

Danke.

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Signatur der natürlichen Zahlen: Vorgänger von 1

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