Taylor-Reihe Entwicklung...

18.04.2005, 07:42

Horschie

Taylor-Reihe Entwicklung...

Hallo,

soll folgendes in eine Taylor-Reihe entwickeln...
$\begin{eqnarray*} (cosh(x))^{2} - cosh(x^2) \end{eqnarray*}$

Entw.Punkt ist nicht gegeben und es sollen die Koeffizienten a0...a6 bestimmt werden

wie gehe ich das am besten an? Soll ich 6x die Ableitung bilden (ws ja auf Dauer recht kompliziert wird,,,

DAnke
Horschie

18.04.2005, 09:14

quarague

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ich würde nach jedem Ableiten einen Moment investieren, um den Term zusammenzufassen und geschickt zu sortieren, da sollte schon einiges wegfallen, aber um 6 mal Ableiten würst du wohl bei dieser Aufgabenstellung nicht drum herum kommen.

18.04.2005, 17:48

Mathespezialschüler

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Entwickle einfach das Taylorpolynom 6. Grades für $\begin{eqnarray*} \cosh(z) \end{eqnarray*}$ , benutze dann die von Arthur hier gepostete Identität und substituiere in dem Taylorpolynom entsprechend. Und dann nur noch zusammenfassen.

18.04.2005, 18:40

Horschie

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cosh als Taylorreihe um 0 entwickeln, dann das Additionstheorem ausnutzen und ausrechnen?

18.04.2005, 18:51

Leopold

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Das Bild zeigt die Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \cosh^2{x} - \cosh{\left(x^2\right)} \end{eqnarray*}$ (blau) sowie des zugehörigen Taylorpolynoms vom Grade 6 (rot).

18.04.2005, 19:39

Horschie

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gebt mir mal bitte noch nen Tipp...ich seh den Anfang nicht unglücklich

18.04.2005, 19:44

Leopold

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Die $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ -Reihe besteht ja aus den geraden Potenzen der Exponentialreihe:

$\begin{eqnarray*} \cosh{x} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \ldots \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt quadrierst:

$\begin{eqnarray*} \cosh^2{x} = \left( 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \ldots \right)^2 \end{eqnarray*}$

mußt du einfach nur jeden Summanden mit jedem Summanden multiplizieren, wie man das auch mit endlichen Summen macht (Konvergenz ist hier kein Problem, da die $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ -Reihe überall konvergiert). Da du nur Glieder bis zum Grade 6 berechnen sollst, genügt es, wenn du dir klar machst, wann welche Potenzen entstehen:

Grad 0 (konstantes Glied): ist das Produkt der konstanten Glieder, also Grad 0 mal Grad 0
Grad 2: Grad 0 mal Grad 2 sowie Grad 2 mal Grad 0
Grad 4: Grad 0 mal Grad 4 sowie Grad 2 mal Grad 2 sowie Grad 4 mal Grad 0
Grad 6: Grad 0 mal Grad 6 sowie Grad 2 mal Grad 4 sowie Grad 4 mal Grad 2 sowie Grad 6 mal Grad 0

Und bei $\begin{eqnarray*} \cosh{\left( x^2 \right)} \end{eqnarray*}$ ist es noch einfacher. Substituiere einfach in der $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ -Reihe $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ .

Und bei der Subtraktion der beiden Reihen subtrahierst du potenzweise. Zur Kontrolle das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \cosh^2{x} - \cosh{\left( x^2 \right)} = x^2 - \frac{1}{6}x^4 + \frac{2}{45}x^6 + O(x^8) \end{eqnarray*}$

18.04.2005, 19:47

Horschie

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \cosh^2{x} - \cosh{\left( x^2 \right)} = x^2 - \frac{1}{6}x^4 + \frac{2}{45}x^6 + O(x^8) \end{eqnarray*}$

danke schön, werd ich gleich mal versuchen!!

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