Matrixnorm

16.11.2007, 13:34

piloan

Matrixnorm

Hi

Ich soll eine explizite Form der Norm:

$\begin{eqnarray*} ||A||_{1,\infty}:= \sup_{||x||=1}~||Ax||_{\infty} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Hab bei dieser Aufgabe momentan keine Idee.

Ich kenne die meisten Matrixnormen, aber hier weiss ich nicht genau was gewollt ist.

16.11.2007, 13:53

tigerbine

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RE: Matrixnorm
Mmh.. Ist das nicht die Zeilensummennorm? Als Induzierte Matrixnorm kann man das sup hier doch auch zum max machen...

Zitat:

[WS] Lineare Gleichungssysteme - comming soon

Gegeben seinen 2 Vektornormen auf $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R^n,~Y=\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ . Die dadurch induzierte Matrixnorm auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray*}$ ist wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} ||A||:=||A||_{YX}:=\sup_{x\neq 0} \frac{||Ax||_Y}{||x||_X} \end{eqnarray*}$

Dabei gelten die Äquivalenzen:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\neq 0} \frac{||Ax||_Y}{||x||_X} = \sup_{||x||_X=1}||Ax||_Y = \sup_{||x|| \leq 1}~||Ax||_Y \end{eqnarray*}$

Aus Kompaktkeitsgründen gilt auch:

$\begin{eqnarray*} \max_{x\neq 0} \frac{||Ax||_Y}{||x||_X} = \max_{||x||_X=1}||Ax||_y = \max_{||x||_X \leq 1}~||Ax||_Y \end{eqnarray*}$

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