Einfache Integralfunktionen

17.11.2007, 14:20

Lisa_90

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Einfache Integralfunktionen

Bestimmen Sie :

a.) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~(0,5x+1)~dx \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~(0,5x+1)~dx \end{eqnarray*}$

c.) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{8}~(0,5x+1)~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe mir dazu eine Zeichnung angefertigt und bekomme als Ergebnisse:

a.) 3

b.) 8

c.) 24

Ist das richtig?

Ich habe das jetzt anhand der Zeichnung abgelesen. Gibt es evtl eine spezielle Formel um das Ergebnis schneller herauszubekommen?

Sorry aber wir haben gerade erst mit dem Thema angefangen und ich versuche es erst noch zu verstehen... unglücklich

unglücklich

Hoffe ihr könnt mir helfen ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2007, 14:25

brain man

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Mit diesem Tool kannst du deine Ergebnisse überprüfen.

Du meinst du hast den Graph in berechenbare Körper unterteilt (Drei- und Vierecke)?

Aber was machst du bei :

17.11.2007, 14:26

vektorraum

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RE: Einfache Integralfunktionen
Hi Lisa,

die Ergebnisse sind richtig. Wie meinst du das: du hast abgelesen. Hast dir also diese linearen Funktionen gezeichnet und dann den Flächeninhalt "abgelsen"???

Was hast du gerechnet?

Wie habt ihr die Integralrechnung begonnen? Begriff bestimmtes Integral oder Unter- und Obersumme schon gefallen???

Gruß, VR

17.11.2007, 14:26

ushi

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RE: Einfache Integralfunktionen
du musst die funktion integrieren. das heißt, du machst das umgedrehte vom differenzieren. da bekommst du eine stammfunktion. in die setzt du dann die grenzen ein und bekommst ein ergebnis.

$\begin{eqnarray*} f(x)\rightarrow F(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

17.11.2007, 14:28

CFusz

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RE: Einfache Integralfunktionen
Hallo Lisa, Wink

Wink

a) richtig
b) richtig
c) richtig

Ja es gibt eine spezielle "Formel" aber auf die werdet ihr jetzt erst noch hinarbeiten, wenn ihr das Thema erst angefangen habt

17.11.2007, 14:29

tmo

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RE: Einfache Integralfunktionen

Zitat:

Original von ushi

$\begin{eqnarray*} A=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

das ist erstens falsch und zweitens nicht sinnvoll, denn wenn der threadersteller den hauptsatz noch nicht hatte und gerade seine ersten integrale mit hilfe der anschauung als flächeninhalt berechnet, dann hilft ihm das nicht sehr viel.

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17.11.2007, 14:34

ushi

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RE: Einfache Integralfunktionen
1.was is daran falsch
2. überzeugt

17.11.2007, 14:36

tmo

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sobald f im intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ negative werte annimmt, ist es falsch.

17.11.2007, 14:37

ushi

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is in ihren beispielen aber nicht der fall.

aber zur vollständigkeit:

$\begin{eqnarray*} A=\mid F(b)-F(a)\mid \end{eqnarray*}$

17.11.2007, 14:42

tmo

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auch falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2007, 14:48

ushi

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ok, dann gehen wir eben noch weiter:

falls im intervall $\begin{eqnarray*} [a,x_1] \end{eqnarray*}$ positiv, im intervall $\begin{eqnarray*} [x_1,x_2] \end{eqnarray*}$ negativ und im intervall $\begin{eqnarray*} [x_2,b] \end{eqnarray*}$ wieder postiv, dann:

$\begin{eqnarray*} A=F(x_1)-F(a)+F(x_1)-F(x_2)+F(b)-F(x_2) \end{eqnarray*}$

und so können wir den ganzen tag weiter machen.

oder ganz allgemein:
$\begin{eqnarray*} \int_a^bf(x)=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

17.11.2007, 14:51

Lisa_90

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super ! danke schonmal! Freude

Freude

Allerdings hätte ich noch eine Frage die sich auf meine erste Frage bezieht.

Wie kann man die Integrale aus Aufgabe 1 mithilfe eines Integrals mit variabler oberer Grenze lösen?

Das würde doch eigtl heißen, dass man nicht weiß, wie groß "a" ist, und deshalb die Integralfunktion heißen müsste:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~2x~dx \end{eqnarray*}$

Und um das Integral zu bestimmen, teilt man das Intervall (0;a) in n gleiche Teile der Breite h = a/n

..das habe ich aus unserem Buch entnommen, weiß allerdings nicht so wirklich was ich damit jetzt anfangen muss und wie ich die Aufgabe lösen soll? verwirrt

verwirrt

17.11.2007, 14:53

Lisa_90

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uups.. verschrieben..

müsste die nicht so heißen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~x^2~dx \end{eqnarray*}$

?

17.11.2007, 14:54

vektorraum

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Die Frage ist einfach zu beantworten, da für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ die Fläche unter der Kurve stets im I Quadranten angenommen wird.

Das heißt du integrierst "ganz normal" und nimmst dann als Integrationsgrenzen einfach 0 und a. Dabei ist a ein s.g. Parameter, d.h. er steht für "irgendeine" Zahl, die du dort beliebig einsetzen kannst.

Du bestimmst also den Flächeninhalt unter der Kurve in Abhängigkeit von a.

Zitat:

Original von Lisa_90
uups.. verschrieben..

müsste die nicht so heißen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~x^2~dx \end{eqnarray*}$

?

Das solltest du selber wissen, von welcher Funktion du sprichst. Ist aber eigentlich analog, da hier auch alle Flächen im I.Quadranten angenommen werden (siehe letzter Post).

17.11.2007, 14:55

tmo

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du erhältst dann n rechtecke mit variabler höhe (nämlich gerade der jeweilige funktionswert) und der breite a/n.

die summe dieser rechtecke ist eine annäherung an die gesuchte fläche. mit dem grenzübergang für n gegen unendlich konvergiert diese annäherung gerade gegen die gesuchte fläche, welcher in diesem fall dem integral gleich ist.

17.11.2007, 14:57

brain man

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Diesen Flächeninhalt kannst du nicht als "Wert" angeben.

Wenn du dir den Graph (Im Intervall [0,a]) anschaust, siehst du ein Dreieck, dessen Flächeninhalt man mit :

$\begin{eqnarray*} A_{D}=\frac{1}{2}gh \end{eqnarray*}$ berechnet.

Das kannst du nun auf deine Aufgabe übertragen. Denn $\begin{eqnarray*} g=f(a) \end{eqnarray*}$ (f(a) ist der maximale

Funktionswert in diesem Intervall und deshalb die Grundseite des Dreiecks) und $\begin{eqnarray*} h=a-0=a \end{eqnarray*}$ (Die Höhe des Dreiecks).

Edit : Verlauf des Threads net mitbekommen...

17.11.2007, 15:11

Lisa_90

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danke!

Freude

Aber mich würde schon interessieren, wie die Formel heißt.

Wenn ich jetzt die Integralfunktion habe:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~(0,5x + 1)~dx \end{eqnarray*}$

Ergebnis = 8

Wie lautet denn die Formel um das schnell und ohne Graph berechnen zu können? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2007, 15:36

brain man

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Haupsatz der Differential- und Integralrechnung

(Falls dich dieser verwirrt, vergiss es einfach wieder und warte, bis dieser im Unterricht besprochen wird.) Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2007, 15:38

ushi

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na gut, aber ohne herleitung. ihr werdet das sicher im unterricht ausführlich durchkauen.

$\begin{eqnarray*} \int_0^4(0,5x+1)~dx=[0,25x^2+x]_0^4=0,25(4)^2+4-0,25(0)^2-0=8 \end{eqnarray*}$

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